Ισότητα γωνιών Α. Μ.

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισότητα γωνιών Α. Μ.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 21, 2020 1:11 pm

Η άσκηση που ακολουθεί , οφείλεται σε μια παρατήρηση του φίλου ( αλλά όχι μέλους ) του mathematica .

Απόστολου Μπαρτζόπουλου , ο οποίος και παλιότερα είχε δώσει "τροφή " για ωραία συζήτηση .
Ισότητα  γωνιών.png
Ισότητα γωνιών.png (34.15 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές
Οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου ABC τέμνουν τον περίκυκλο στα σημεία A' , B' , C'

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{A'C'C}=\widehat{O'C'B'} . Όμοιες ισότητες και για τις κορυφές : A' , B' .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9451
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα γωνιών Α. Μ.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 21, 2020 1:46 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 21, 2020 1:11 pm
Η άσκηση που ακολουθεί , οφείλεται σε μια παρατήρηση του φίλου ( αλλά όχι μέλους ) του mathematica .

Απόστολου Μπαρτζόπουλου , ο οποίος και παλιότερα είχε δώσει "τροφή " για ωραία συζήτηση .
Ισότητα γωνιών.png Οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου ABC τέμνουν τον περίκυκλο στα σημεία A' , B' , C'

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{A'C'C}=\widehat{O'C'B'} . Όμοιες ισότητες και για τις κορυφές : A' , B' .
Α.Μ.png
Α.Μ.png (22.15 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές
\displaystyle \varphi  = \frac{{\widehat A}}{2} και \displaystyle A'\widehat AB' + A\widehat {B'}C' = A'\widehat {A}C + C\widehat AB' + A\widehat {B'}C' = \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2} = 90^\circ  \Rightarrow AA' \bot B'C'

Άρα, \displaystyle \frac{{\widehat A}}{2} = B\widehat AA' = \theta (οξείες με πλευρές κάθετες).


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12330
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισότητα γωνιών Α. Μ.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 21, 2020 2:40 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 21, 2020 1:11 pm
Η άσκηση που ακολουθεί , οφείλεται σε μια παρατήρηση του φίλου ( αλλά όχι μέλους ) του mathematica .

Απόστολου Μπαρτζόπουλου , ο οποίος και παλιότερα είχε δώσει "τροφή " για ωραία συζήτηση .
Ισότητα γωνιών.png Οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου ABC τέμνουν τον περίκυκλο στα σημεία A' , B' , C'

αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{A'C'C}=\widehat{O'C'B'} . Όμοιες ισότητες και για τις κορυφές : A' , B' .
Το αποτέλεσμα είναι αρκετά γνωστό.

Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι διχοτόμοι του ABC είναι ύψη του A'B'C' και αντίστροφα, αν ξεκινήσουμε από τρίγωνο A'B'C' τότε τα ύcη του είναι διχοτόμοι του ABC. Το δεύτερο είναι μία από τις ωραίες αποδείξεις ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν αφού αυτό ανάγεται στην (γνωστή) σύγκλιση των διχοτόμων κάποιου άλλου τριγώνου. Την απόδειξη αυτή την βρίσκει κανείς σε διάφορα βιβλία και σίγουρα την έχουμε δει στο φόρουμ. Άλλωστε την είχα αναφέρει σε ομιλίες μου για την ιστορία του θεωρήματος ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης