Κανόνας για ειδικό τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κανόνας για ειδικό τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 19, 2020 7:48 pm

Ειδικό  τρίγωνο.png
Ειδικό τρίγωνο.png (11.55 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές
Το τρίγωνο ABC , που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) , έχει την εξής ιδιότητα : Αν από

το αντιδιαμετρικό B' , της κορυφής B φέρουμε κάθετη B'H προς το ύψος AD , το H

να είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Βρείτε έναν κανόνα δημιουργίας τέτοιων τριγώνων .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κανόνας για ειδικό τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Απρ 19, 2020 8:51 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Απρ 19, 2020 7:48 pm
Ειδικό τρίγωνο.pngΤο τρίγωνο ABC , που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) , έχει την εξής ιδιότητα : Αν από

το αντιδιαμετρικό B' , της κορυφής B φέρουμε κάθετη B'H προς το ύψος AD , το H

να είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Βρείτε έναν κανόνα δημιουργίας τέτοιων τριγώνων .
Για οξυγώνιο τρίγωνο
κανόνας για ειδικά τρίγωνα.png
κανόνας για ειδικά τρίγωνα.png (10.71 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές
Σε τυχαίο κύκλο θεωρώ τυχαία χορδή AT. Σε σημείο D του AT για το οποίο :

AD = 2DT φέρνω κάθετη που τέμνει τον κύκλο στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C.

Η μεσοκάθετη στο AD τέμνει το AD στο ορθόκεντρο H και το κύκλο σε δύο

σημεία το ένα , έστω B', είναι αντιδιαμετρικό του B.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κανόνας για ειδικό τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 19, 2020 9:14 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Απρ 19, 2020 7:48 pm
Ειδικό τρίγωνο.pngΤο τρίγωνο ABC , που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) , έχει την εξής ιδιότητα : Αν από

το αντιδιαμετρικό B' , της κορυφής B φέρουμε κάθετη B'H προς το ύψος AD , το H

να είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου . Βρείτε έναν κανόνα δημιουργίας τέτοιων τριγώνων .
Επειδή B'C\perp BC και \angle BB'C=A, έχουμε από το ορθογώνιο HBCB' ότι HD=B'C=a\tan A. Αλλά επίσης

HD=CD\tan DCH= (b\cos C) \tan (90-B) = \dfrac {b\cos C}{\tan B}. Εξισώνοντας είναι

a\tan A= \dfrac {b\cos C}{\tan B}.

Aυτή είναι η συνθήκη μας. Μπορούμε να της δώσουμε πολλές ισοδύναμες μορφές, π.χ. από τον νόμο των ημιτόνων sin ^2A = \cos A \cos B\cos C. Ο ίδιος γράφεται συναρτήσει μόνο των πλευρών.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κανόνας για ειδικό τρίγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 20, 2020 7:45 am

Ειδικό  τρίγωνο.png
Ειδικό τρίγωνο.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές
Στηριζόμενος στην απάντηση του Νίκου : Επειδή τα σημεία H , D τριχοτομούν την χορδή AT ,

το BCB'S , είναι ορθογώνιο και έτσι πράγματι τα B,B' είναι αντιδιαμετρικά . Επίσης :

BD\cdot DC=AD\cdot DT=h\cdot\dfrac{h}{2} , συνεπώς : BD\cdot DC=\dfrac{h^2}{2} .

Παράδειγμα : BD=2 , DC=9 , DA=6 .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κανόνας για ειδικό τρίγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 20, 2020 1:57 pm

Επί της ουσίας ζητάμε να κατασκευάσουμε οξυγώνιο τρίγωνο ABC όπου το ορθόκεντρο H να είναι μέσο του ύψους AD.
Κανόνας για ειδικό τρίγωνο.png
Κανόνας για ειδικό τρίγωνο.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές
Κατασκευάζω ορθογώνιο DMON και προεκτείνω την DN κατά τμήμα NA=3DN. Ο κύκλος (O, OA) τέμνει

την DM στα σημεία B, C. Το ABC είναι ένα από τα ζητούμενα τρίγωνα (πληροί τις προϋποθέσεις της εκφώνησης).


Πράγματι, αν H είναι το ορθόκεντρο, τότε \displaystyle AH = 2OM = 2\frac{{AD}}{4} = \frac{{AD}}{2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης