Συντρέχεια

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Συντρέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Απρ 14, 2020 9:35 pm

Καλησπέρα!
Μια άσκηση που κατασκεύασα:
Έστω τρίγωνο \rm ABC και \rm S σημείο στο εσωτερικό του.Ο εγγεγραμμένος κύκλος του \rm ABC εφάπτεται στις \rm BC,AC,AB στα \rm A_1,B_1,C_1 αντίστοιχα.Οι \rm AS,BS,CS τέμνουν τον εγγεγραμμένο κύκλο του \rm ABC στα \rm A_2,B_2,C_2 αντίστοιχα.Να δειχθεί ότι οι \rm A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2 συντρέχουν.
302.PNG
302.PNG (39.19 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Συντρέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Απρ 16, 2020 12:52 pm

Είναι γνωστό ότι sinSAB_{1}/sinSAC_{1}=(A_{2}B_{1}/C_{1}A_{2})^{2} απο αυτήν την σχέση κυκλικά και από θ. Ceva έχουμε

\dfrac{sin\widehat{SAB_{1}}}{sin\widehat{SAC_{1}}}\cdot \dfrac{sin\widehat{SBC_{1}}}{sin\widehat{SBA_{1}}}\cdot \dfrac{sin\widehat{SCA_{1}}}{sin\widehat{SCB_{1}}}=1\Leftrightarrow \dfrac{A_{2}B_{1}}{A_{2}C_{1}}\cdot \dfrac{B_{2}C_{1}}{B_{2}A_{1}}\cdot \dfrac{C_{2}A_{1}}{C_{2}B_{1}}=1(1)

Αφού ισχύει η (1) και A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2} είναι ομοκυκλικά έχουμε την ζητούμενη συντρέχεια.
Μιας και δεν νομίζω να είναι ιδιαίτερα γνωστή πρόταση κάνω και την απόδειξη έστω C_{1}C_{2}\cap B_{1}B_{2}\equiv O KAI A_{2}0 ξανατέμνει τον κύκλο στο A'_{1} τότε έχουμε

\dfrac{B_{1}C_{2}}{C_{1}B_{2}}\cdot \dfrac{B_{2}A'_{1}}{A_{2}B_{1}}=\dfrac{C_{2}O}{B_{2}O}\cdot \dfrac{B_{2}O}{A_{2}O}=\dfrac{C_{2}O}{A_{2}O}=\dfrac{A'_{1}C_{2}}{C_{1}A_{2}} (2)

Από (1),(2) παίρνουμε \dfrac{A_{1}C_{2}}{A_{1}B_{2}}=\dfrac{A´_{1}C_{2}}{A'_{1}B_{2}} και αφού A_{1},A'_{1} ανήκουν στον ίδιο κυκλικό τομέα που ορίζει η B_{2}C_{2} ισχύει A_{1}\equiv A'_{1} .


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συντρέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Απρ 26, 2020 11:59 pm

Ευχαριστώ Χρήστο για την αντιμετώπιση ,δίνω μία ακόμη:

Έστω \rm X\equiv B_1B_2 \cap C_1C_2 .Επειδή \rm X εσωτερικό σημείο του έγκυκλου μπορώ να θεωρήσω προβολικό μετασχηματισμό που στέλνει τον κύκλο αυτό σε κύκλο και \rm X το κέντρο του.Έτσι τα \rm B_2'B_1',C_2'C_1' είναι διαμέτροι (οι εικόνες των πλευρών του \rm ABC θα εφάπτονται στην εικόνα του έγκυκλου) και έτσι το \rm S' θα είναι το σημείο \rm Nagel του \rm A'B'C'.Άρα και η ευθεία \rm A_1'A_2' περνά από το κέντρο του κύκλου δηλαδή το \rm X' και η απόδειξη ολοκληρώθηκε(γενικά με \rm T' παριστάνω την εικόνα του \rm T).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες