Λόγος με λόγο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11767
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λόγος με λόγο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 28, 2020 8:48 pm

Λόγος με λόγο.png
Λόγος με λόγο.png (16.18 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές
Στο τρίγωνο ABC , είναι : AB=5 , AC=7 , BC=8 . Με κορυφή σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : SC=2 , σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο APSQ . Ο κύκλος (P,Q , S )

ξανατέμνει την BC στο σημείο T . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(PTQ)}{(ABC)}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7423
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος με λόγο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 29, 2020 5:27 am

\cos A = \dfrac{{{5^2} + {7^2} - {8^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 7}} = \dfrac{1}{7}\,\,\,\left( 1 \right). (Θ. συνημίτονου στο \vartriangle ABC)

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο PTSQ έχω \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} κι από το παραλληλόγραμμο

APSQ είναι \widehat {{A_{}}} = \widehat {{\theta _1}} και άρα \boxed{\cos {\theta _1} = \frac{1}{7}}

Τα τρίγωνα ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QSC είναι όμοια άρα : QC = \dfrac{7}{4}\,\,\,,\,\,QS = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \boxed{PS = AQ = \dfrac{{3 \cdot 7}}{4} = \dfrac{{21}}{4}}

Τώρα πάλι από το Θ. συνημίτονου στο \vartriangle SPQ έχω :

\boxed{P{Q^2} = {{\left( {\frac{{21}}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2} - 2 \cdot \frac{{21}}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{7} = \frac{{109}}{4}}
Λόγος με λόγο.png
Λόγος με λόγο.png (40.31 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές

Αλλά \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{C_{}}} γιατί PS//AC και \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _1}} από εγγράψιμο τετράπλευρο PTSQ.

Μα έτσι τα τρίγωνα ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PTQ είναι όμοια και . \boxed{\frac{{\left( {TPQ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{P{Q^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{109}}{{256}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9673
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος με λόγο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 29, 2020 2:02 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 8:48 pm
Λόγος με λόγο.pngΣτο τρίγωνο ABC , είναι : AB=5 , AC=7 , BC=8 . Με κορυφή σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : SC=2 , σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο APSQ . Ο κύκλος (P,Q , S )

ξανατέμνει την BC στο σημείο T . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(PTQ)}{(ABC)}
Η αρχική μου λύση ήταν ίδια με του Νίκου.

Η PQ τέμνει την BC στο K και έστω CK=x. Εύκολα με ν. συνημιτόνου βρίσκω \widehat B=60^\circ.
Λόγος με λόγο.png
Λόγος με λόγο.png (23.23 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές
\displaystyle \frac{{QS}}{{AB}} = \frac{{CS}}{{CB}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow QS = \frac{5}{4} και BP=\dfrac{15}{4}, άρα \boxed{\frac{v}{h} = \frac{3}{4}} (1)

\displaystyle \frac{{QS}}{{BP}} = \frac{{KS}}{{KB}} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{{2 + x}}{{8 + x}} \Leftrightarrow x = 1 και με ν. συνημιτόνου στο QSK, είναι \boxed{K{Q^2} = \frac{{109}}{{16}}} (2)

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{{KQ}}{{KP}} = \dfrac{{QS}}{{BP}} = \dfrac{1}{3}\\ 
\\ 
KQ \cdot KP = KS \cdot KT = 3KT 
\end{array} \right. \Rightarrow K{Q^2} = KT\mathop  \Rightarrow \limits^{(2)} KT = \frac{{109}}{{16}} (3)

\displaystyle \frac{{(TPQ)}}{{(TPK)}} = \frac{{PQ}}{{PK}} = \frac{2}{3}, οπότε \displaystyle \frac{{(TPQ)}}{{(ABC)}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{(TPK)}}{{(ABC)}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{TK \cdot v}}{{8h}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1),(3)} \boxed{\frac{{(TPQ)}}{{(ABC)}} = \frac{{109}}{{256}}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1879
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγος με λόγο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Μαρ 29, 2020 2:57 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 8:48 pm
Λόγος με λόγο.pngΣτο τρίγωνο ABC , είναι : AB=5 , AC=7 , BC=8 . Με κορυφή σημείο S της BC ,

τέτοιο ώστε : SC=2 , σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο APSQ . Ο κύκλος (P,Q , S )

ξανατέμνει την BC στο σημείο T . Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{(PTQ)}{(ABC)}

 \dfrac{CQ}{7} = \dfrac{QS}{5}= \dfrac{1}{4}   \Rightarrow CQ= \dfrac{7}{4} ,QS= \dfrac{5}{4} και AQ= \dfrac{21}{4},BP= \dfrac{15}{4}

 \triangle PQT \simeq  \triangle ABC \Rightarrow  \dfrac{PT}{5}= \dfrac{QT}{ 7 }= \dfrac{PQ}{8}= \lambda  \Rightarrow PT=5 \lambda ,QT=7 \lambda ,PQ=8 \lambda

κι από θ.Πτολεμαίου TS= \dfrac{61}{16}  άρα BT= \dfrac{35}{16} ,TC= \dfrac{93}{16}

Με (ABC)= E,(PQT)=S έχουμε

\Rightarrow  \dfrac{E-S}{E}   =\dfrac{(PBT)}{E}+ \dfrac{(APQ)}{E}+ \dfrac{(TQC)}{E}= \dfrac{PB . BT}{40}+ \dfrac{AP . AQ}{35} + \dfrac{QC . CT}{56}.Με πράξεις  \dfrac{S}{E}= \dfrac{109}{256}
λόγος.png
λόγος.png (25.48 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης