mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 15, 2020 11:37 am**

: Και έγκεντρο έχουμε.png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου

και κέντρου

Έστω

σημείο του ημικυκλίου ώστε $A\widehat OB<120^\circ$ και

το μέσο

του τόξου $\overset\frown {AB}.$ Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

και η μεσοκάθετη του

τέμνει το ημικύκλιο

στα E, F.

Να δείξετε ότι

είναι το έγκεντρο του τριγώνου CEF.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 15, 2020 4:04 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 11:37 am

Και έγκεντρο έχουμε.png
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου Έστω σημείο του ημικυκλίου ώστε $A\widehat OB<120^\circ$ και το μέσο

του τόξου $\overset\frown {AB}.$ Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο και η μεσοκάθετη του τέμνει το ημικύκλιο

στα Να δείξετε ότι είναι το έγκεντρο του τριγώνου

Που καταντήσαμε, το IMO 2002 P2 επιπέδου Θαλή/Ευκλείδη

Έχω, $\angle DOB=\angle AOB /2=\angle ACB$ , άρα $DO \parallel AC$ και αφού $DA \parallel IO$ , το DAIO

είναι παραλληλόγραμμο.

Επίσης, είναι AE=EO=AO=R

, άρα

. Ακόμη, η

διχοτομεί την $\angle ECF$ αφού το

είναι μέσο του τόξου

(αυτό το διασφαλίζουμε από τη συνθήκη $\angle AOB<120^\circ$ ).

Από γνωστό Λήμμα επομένως, προκύπτει ότι το

είναι έκκεντρο του $\vartriangle FEC$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 15, 2020 4:23 pm**

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 4:04 pm

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 15, 2020 11:37 am
Και έγκεντρο έχουμε.png
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου Έστω σημείο του ημικυκλίου ώστε $A\widehat OB<120^\circ$ και το μέσο

του τόξου $\overset\frown {AB}.$ Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο και η μεσοκάθετη του τέμνει το ημικύκλιο

στα Να δείξετε ότι είναι το έγκεντρο του τριγώνου
Που καταντήσαμε, το IMO 2002 P2 επιπέδου Θαλή/Ευκλείδη

Μου φάνηκε αρκετά εύκολη για να μπει σε πιο προχωρημένο φάκελο.

mathematica.gr

Και έγκεντρο έχουμε

Και έγκεντρο έχουμε

Re: Και έγκεντρο έχουμε

Re: Και έγκεντρο έχουμε