Και έγκεντρο έχουμε

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9781
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Και έγκεντρο έχουμε

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 15, 2020 11:37 am

Και έγκεντρο έχουμε.png
Και έγκεντρο έχουμε.png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου BC και κέντρου O. Έστω A σημείο του ημικυκλίου ώστε A\widehat OB<120^\circ και D το μέσο

του τόξου \overset\frown {AB}. Η παράλληλη από το O στην AD τέμνει την AC στο I και η μεσοκάθετη του AO τέμνει το ημικύκλιο

στα E, F. Να δείξετε ότι I είναι το έγκεντρο του τριγώνου CEF.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1632
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Και έγκεντρο έχουμε

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μαρ 15, 2020 4:04 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Μαρ 15, 2020 11:37 am
Και έγκεντρο έχουμε.png
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου BC και κέντρου O. Έστω A σημείο του ημικυκλίου ώστε A\widehat OB<120^\circ και D το μέσο

του τόξου \overset\frown {AB}. Η παράλληλη από το O στην AD τέμνει την AC στο I και η μεσοκάθετη του AO τέμνει το ημικύκλιο

στα E, F. Να δείξετε ότι I είναι το έγκεντρο του τριγώνου CEF.
Που καταντήσαμε, το IMO 2002 P2 επιπέδου Θαλή/Ευκλείδη :mrgreen: :mrgreen:

Έχω, \angle DOB=\angle AOB /2=\angle ACB, άρα DO \parallel AC και αφού DA \parallel IO, το DAIO είναι παραλληλόγραμμο.

Επίσης, είναι AE=EO=AO=R, άρα IA=DO=R=AE=AF. Ακόμη, η CI διχοτομεί την \angle ECF αφού το A είναι μέσο του τόξου EF (αυτό το διασφαλίζουμε από τη συνθήκη \angle AOB<120^\circ).

Από γνωστό Λήμμα επομένως, προκύπτει ότι το I είναι έκκεντρο του \vartriangle FEC.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9781
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Και έγκεντρο έχουμε

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 15, 2020 4:23 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Μαρ 15, 2020 4:04 pm
george visvikis έγραψε:
Κυρ Μαρ 15, 2020 11:37 am
Και έγκεντρο έχουμε.png
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου BC και κέντρου O. Έστω A σημείο του ημικυκλίου ώστε A\widehat OB<120^\circ και D το μέσο

του τόξου \overset\frown {AB}. Η παράλληλη από το O στην AD τέμνει την AC στο I και η μεσοκάθετη του AO τέμνει το ημικύκλιο

στα E, F. Να δείξετε ότι I είναι το έγκεντρο του τριγώνου CEF.
Που καταντήσαμε, το IMO 2002 P2 επιπέδου Θαλή/Ευκλείδη :mrgreen: :mrgreen:
Μου φάνηκε αρκετά εύκολη για να μπει σε πιο προχωρημένο φάκελο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης