Ώρα εφαπτομένης 17

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12332
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 17

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 11, 2020 10:29 pm

Ώρα  εφαπτομένης 16.png
Ώρα εφαπτομένης 16.png (14.1 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
Στο τετράπλευρο ABCD του σχήματος , υπολογίστε την \tan\theta , (\theta=\widehat{CAD}) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7797
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 17

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μαρ 12, 2020 12:08 am

Βρίσκω το αρμονικό συζυγές F του S ως προς τα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D. Είναι \boxed{DF = \frac{{45}}{4}}.

Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου SF = \dfrac{{45}}{4} + 5 = \dfrac{{65}}{4}.

Φέρνω τη μεσοκάθετο, ευθεία d του BD

Αν M το μέσο του BD και L το συμμετρικό του M ως προς το S φέρνω στο L κάθετη επί την SF και τέμνει το ημικύκλιο στο C.
Ώρα εφαπτομένης 17_κατασκευή.png
Ώρα εφαπτομένης 17_κατασκευή.png (29.35 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές

Θα είναι : MS = SL = 4 και άρα LF = 1 + \dfrac{{45}}{4} = \dfrac{{49}}{4} , οπότε

C{L^2} = SL \cdot LF = 49 \Rightarrow CL = 7.

Η CS αν προεκταθεί τέμνει τη ευθεία d στο A.

Υπολογισμοί:

\left\{ \begin{gathered} 
  \tan \omega  = \frac{4}{7} \hfill \\ 
  \tan \left( {\omega  + \theta } \right) = \frac{{4 + 5}}{7} = \frac{9}{7} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και άρα : \dfrac{{\tan \omega  + \tan \theta }}{{1 - \tan \omega \tan \theta }} = \dfrac{9}{7} \Rightarrow \boxed{\tan \theta  = \frac{7}{{17}}}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10184
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 17

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 12, 2020 7:59 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Μαρ 11, 2020 10:29 pm
Ώρα εφαπτομένης 16.pngΣτο τετράπλευρο ABCD του σχήματος , υπολογίστε την \tan\theta , (\theta=\widehat{CAD}) .
Η άσκηση είναι εφαρμογή αυτής
Εφ-17.png
Εφ-17.png (13.79 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές
Σύμφωνα με την παραπομπή, \displaystyle 4 = \sqrt {\frac{{81 - A{H^2}}}{2}}  \Leftrightarrow AH = 7. Εύκολα τώρα \boxed{\tan \theta=\frac{7}{17}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1970
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 17

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Μαρ 12, 2020 2:00 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μαρ 11, 2020 10:29 pm
Ώρα εφαπτομένης 16.pngΣτο τετράπλευρο ABCD του σχήματος , υπολογίστε την \tan\theta , (\theta=\widehat{CAD}) .
Με  AM\bot BD ,DH \bot AC \Rightarrow M,H μέσα των AD,DZ \Rightarrow MH//BC

Έτσι οι γωνίες  \theta είναι ίσες και  ABCD εγγράψιμο  \Rightarrow AS^2=13 . 5=65 και με Π.Θ στο  \triangle AMS \Rightarrow AM=7

Από τα όμοια τρίγωνα  AMS,SHD \Rightarrow  \dfrac{DH}{7}= \dfrac{5}{AS} = \dfrac{SH}{4}   \Rightarrow SH= \dfrac{20}{AS}  \Rightarrow AH= \dfrac{AS^2+20 
 }{AS}= \dfrac{85}{AS}  και  DH= \dfrac{35}{AS}

 tan \theta = \dfrac{DH}{AH} = \dfrac{35}{85} = \dfrac{7}{17}
Ώρα εφαπτομένης 17.png
Ώρα εφαπτομένης 17.png (38.59 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές


p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1084
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 17

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Πέμ Μαρ 12, 2020 10:43 pm

εφαπτ 17B.png
εφαπτ 17B.png (62.61 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Θεωρώ τον κύκλο (BCD) και θα δείξω ότι περνά από το σημείο A. Πράγματι αν ο κύκλος δεν περνά από το A αλλά από το σημείο Z (της AC) τότε θα είναι ZB=ZD, συνεπώς θα υπάρχουν 2 σημεία (το A και Z) που θα ισαπέχουν από τα άκρα του BD που σημαίνει ότι η ευθεία AZ είναι μεσοκάθετος του BD πράγμα άτοπο αφού το σημείο της S δεν ισαπέχει από τα B,D. Επομένως το A είναι σημείο του κύκλου και το τετράπλευρο ABCD είναι εγγράψιμο.
Από την ισότητα AS \cdot SC=BS \cdot SD προκύπτει AS=\sqrt{65} ενώ στο τρίγωνο AKS με Π.Θ υπολογίζουμε AK=7.
Είναι τώρα tanx=\frac{4}{7} \,\, (1) και tan(KAD)=tan(x+\theta)=\frac{9}{7} \,\, (2).

Όμως \displaystyle  tan(x+\theta)= \frac{tanx+tan \theta}{1-tanx+tan \theta} και με αντικατάσταση των (1) και (2) προκύπτει \displaystyle tan\theta=\frac{7}{17}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες