Ευλόγως

KARKAR · #1

: Ευλόγως.png (8.7 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

είναι : $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4}$ . Το

είναι σημείο της

, ώστε : $\dfrac{DS}{SC}=\dfrac{1}{3}$ .

Η

τέμνει τον περίκυκλο του ορθογωνίου στο σημείο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TD}{TC}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2020 7:27 pm
Ευλόγως.pngΣτο ορθογώνιο είναι : $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4}$ . Το είναι σημείο της , ώστε : $\dfrac{DS}{SC}=\dfrac{1}{3}$ .

Η τέμνει τον περίκυκλο του ορθογωνίου στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TD}{TC}$ .

$sin \omega = \dfrac{b}{DB}= \dfrac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} }= \dfrac{b}{a} \dfrac{1}{ \sqrt{1+( \dfrac{b}{a} )^2} }= \dfrac{3}{4} . \dfrac{4}{5}= \dfrac{3}{5}$

$\dfrac{(TDS)}{(TSC)}= \dfrac{DS}{SC}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{TD . TS . sin \omega }{TC . TS . sin90^0}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{TD}{TC}= \dfrac{5}{9}$

: Ευλόγως.png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές

#3

Καλησπέρα σε όλους. Μόλις βλέπω ότι έχω πιο πολυλογάδικη λύση από αυτή του Μιχάλη, αλλά ... μην πάει χαμένη αφού την πληκτρολόγησα.

: 03-03-2020 Γεωμετρία.jpg (33.45 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

Έστω

. Είναι $\displaystyle b = \frac{{3a}}{4}$ και $\displaystyle SC = \frac{{3a}}{4} = b,\;DS = \frac{a}{4} = \frac{b}{3}$ .

Είναι $\displaystyle \widehat {{\rm A}{\rm T}C} = 90^\circ$ (εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο).

Στο TSC

είναι $\displaystyle TC = b\sigma \upsilon \nu \omega$

Στο DTA

είναι $\displaystyle DT = \frac{{\eta \mu \omega }}{{\eta \mu \varphi }} \cdot b$ , οπότε $\displaystyle \frac{{DT}}{{TC}} = \frac{{\varepsilon \varphi \omega }}{{\eta \mu \varphi }}$ .

Στο DCA

είναι $\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + {a^2}} }} = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + \frac{{16{b^2}}}{9}} }} = \frac{3}{5}$

Στο DSA

είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \omega = \frac{{DS}}{b} = \frac{{\frac{b}{3}}}{b} = \frac{1}{3}$

Άρα $\displaystyle \frac{{DT}}{{TC}} = \frac{{\varepsilon \varphi \omega }}{{\eta \mu \varphi }} = \frac{5}{9}$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2020 7:27 pm
Ευλόγως.pngΣτο ορθογώνιο είναι : $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4}$ . Το είναι σημείο της , ώστε : $\dfrac{DS}{SC}=\dfrac{1}{3}$ .

Η τέμνει τον περίκυκλο του ορθογωνίου στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TD}{TC}$ .

: Ευλόγως.Κ.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές

Είναι $\displaystyle D\widehat TB = A\widehat TC = 90^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} DT = BD\sin \varphi \\ \\ TC = AC\sin \omega \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{DT}}{{TC}} = \frac{{\sin \varphi }}{{\sin \omega }}}$

$\displaystyle \tan \varphi = \frac{{DS}}{{DA}} = \frac{1}{3},$ απ' όπου παίρνω $\boxed{\sin \varphi = \frac{1}{{\sqrt {10} }}}$ και $\displaystyle \tan (\varphi + \omega ) = \frac{a}{b} = \frac{4}{3} \Rightarrow$

$\displaystyle \tan \omega = \frac{{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{{1 + \frac{4}{9}}} = \frac{9}{{13}},$ απ' όπου $\boxed{\sin \omega = \frac{9}{{5\sqrt {10} }}}$ άρα $\boxed{\frac{{DT}}{{TC}} = \frac{5}{9}}$

Χρησιμοποιήθηκε ο τύπος $\boxed{{\sin ^2}x = \frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}}$

#5

Και μία, αφιερωμένη στον Γιώργο Ρίζο. Για λόγους ευκολίας έχω πάρει τις συντεταγμένες που φαίνονται στο σχήμα.

: Ευλόγως.Κ.b.png (17.07 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} AS:y = 3x + 9\\ \\ {x^2} + {y^2} = 25 \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{T\left( { - \frac{7}{5},\frac{{24}}{5}} \right)}$ Άρα, $\displaystyle \overrightarrow {DT} = \left( {\frac{{13}}{5},\frac{9}{5}} \right),\overrightarrow {TC} = \left( {\frac{{27}}{5},\frac{9}{5}} \right)$

$\displaystyle \frac{{TD}}{{TC}} = \frac{{\sqrt {{{13}^2} + {9^2}} }}{{\sqrt {{{27}^2} + {9^2}} }} = \sqrt {\frac{{250}}{{810}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{TD}}{{TC}} = \frac{5}{9}}$

#6

Επειδή ζητείται λόγος δεν επηρεάζεται το αποτέλεσμα αν επιλέξω $AB = 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,AD = 3$ .

Από $\vartriangle TDC \approx \vartriangle DSA$ έχω : $\dfrac{{TS}}{{DS}} = \dfrac{{SC}}{{SA}} = \dfrac{{TC}}{{DA}} \Rightarrow a = \dfrac{3}{b} = \dfrac{y}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} ab = 3 \hfill \\ \boxed{by = 9} \hfill \\ y = 3a \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\left( M \right)$

: Ευλόγως_oritzin.png (25.01 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές

Από το Θ. Πτολεμαίου έχω :

$5x + 3y = 4\left( {a + b} \right) \Rightarrow 5bx + 3by = 4\left( {ab + {b^2}} \right) \Rightarrow 5bx + 27 = 4\left( {3 + 10} \right) \Rightarrow \boxed{bx = 5}$

Από τη δεύτερη των $\left( M \right)$ και την προηγούμενη έχω: $\boxed{\frac{x}{y} = \frac{5}{9}}$

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2020 7:27 pm
Ευλόγως.pngΣτο ορθογώνιο είναι : $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4}$ . Το είναι σημείο της , ώστε : $\dfrac{DS}{SC}=\dfrac{1}{3}$ .

Η τέμνει τον περίκυκλο του ορθογωνίου στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TD}{TC}$ .

Και μία μόνο με όμοια τρίγωνα. Είναι $\displaystyle DS = \frac{a}{4},AD = CS = \frac{{3a}}{4},AC = \frac{{5a}}{4}$

: Ευλόγως.Κ.c.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων SDT, SCA

και

παίρνω διαδοχικά:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{DT}}{{AC}} = \dfrac{{DS}}{{AS}} \Leftrightarrow DT = \dfrac{{5{a^2}}}{{16AS}}\\ \\ \dfrac{{TC}}{{AD}} = \dfrac{{SC}}{{AS}} \Leftrightarrow TC = \dfrac{{9{a^2}}}{{16AS}} \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{\frac{DT}{TC}=\frac{5}{9}}$

Ευλόγως

Ευλόγως

Re: Ευλόγως

Re: Ευλόγως

Re: Ευλόγως

Re: Ευλόγως

Re: Ευλόγως

Re: Ευλόγως

Μέλη σε σύνδεση