Σελίδα 1 από 1

Αστρική καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 13, 2020 8:39 pm
από KARKAR
Αστρική  καθετότητα.png
Αστρική καθετότητα.png (10.85 KiB) Προβλήθηκε 247 φορές
Από το ίχνος D της διχοτόμου AD τριγώνου ABC , με AC<AB , φέρουμε παράλληλη

προς την BA , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο E . Δείξτε ότι : BE \perp AD .

Re: Αστρική καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 13, 2020 9:20 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 13, 2020 8:39 pm
Αστρική καθετότητα.pngΑπό το ίχνος D της διχοτόμου AD τριγώνου ABC , με AC<AB , φέρουμε παράλληλη

προς την BA , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο E . Δείξτε ότι : BE \perp AD .
Καλησπέρα!

Είμαι σίγουρος ότι την έχω ξαναδεί σε κάποια γεωμετρία του κ.Μπάμπη αλλά δεν την βρίσκω τώρα.
227.PNG
227.PNG (12.81 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές
Φέρω την εξωτερική διχοτόμο AL .Είναι AD\perp AL άρα αρκεί AL\parallel BE
Αυτό όμως ισχύει αφού από σχέση Newton για την αρμονική σημειοσειρά (L,D/B,C) είναι MB^2=MD\cdot ML\Leftrightarrow \dfrac{MB}{ML}=\dfrac{MD}{MB}=\dfrac{ME}{MA} και από θ.Θαλή έπεται το ζητούμενο.

Re: Αστρική καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 14, 2020 8:28 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα!
Αστρική καθετότητα.PNG
Αστρική καθετότητα.PNG (7.04 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές
Αρκεί να δείξουμε AZ=AB. Τότε η διχοτόμος κορυφής στο ισοσκελές ABZ είναι και ύψος..Θα επανέλθω για την απόδειξη.

Άρση απόκρυψης, απόδειξη.
Η AD διχοτόμος, οπότε BD=\dfrac{ac}{b+c} ενώ DM=a/2-BD=\dfrac{a\left ( b-c \right )}{2\left ( b+c \right )}.

Είναι DE \parallel AB επομένως  \dfrac{AE}{EM}=\dfrac{BD}{DM}=\dfrac{2c}{b-c}.

Το θ. Μενελάου στο τρίγωνο MAC με διατέμνουσα την BEZ δίνει \dfrac{AZ}{ZC}\cdot \dfrac{CB}{BM}\cdot \dfrac{ME}{EA}=1\Rightarrow \dfrac{AE}{EM}=\dfrac{2AZ}{ZC}=\dfrac{2AZ}{b-AZ}.

Έτσι παίρνουμε \dfrac{2AZ}{b-AZ}=\dfrac{2c}{b-c}\Rightarrow...  AZ=c=AB. Φιλικά, Γιώργος.

Re: Αστρική καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 14, 2020 12:12 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 13, 2020 8:39 pm
Αστρική καθετότητα.pngΑπό το ίχνος D της διχοτόμου AD τριγώνου ABC , με AC<AB , φέρουμε παράλληλη

προς την BA , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο E . Δείξτε ότι : BE \perp AD .
Η AD τέμνει την BE στο S, η MS την AB στο N και η BE την AC στο P.
Αστρική καθετότητα.png
Αστρική καθετότητα.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Από Ceva στο ABM κι επειδή \displaystyle \frac{{BD}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{EM}} προκύπτει ότι N είναι το μέσο της AB.

Αλλά, NS||AP οπότε το S είναι το μέσο του BP και λόγω της διχοτόμου AD, θα είναι \boxed{AD\bot BE}

Re: Αστρική καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 14, 2020 12:28 pm
από Doloros
Αστρικη καθετότητα_oritzin_ok.png
Αστρικη καθετότητα_oritzin_ok.png (23.63 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές

Έστω K το σημείο τομής AD\,,\,\,BE και S το σημείο τομής των DE\,\,,\,\,AC

Αφού DS//AB\,\, και AD διχοτόμος , το \vartriangle SAD είναι ισοσκελές με κορυφή το S.

Στο τραπέζιο ABDE η MK θα διέρχεται από τα μέσα O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N των βάσεών του

BA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE και άρα DN = NE. Αλλά \overline {MNKO} είναι παράλληλη στην AC και άρα

Το \vartriangle NKD είναι κι αυτό ισοσκελές με κορυφή το N.

Τώρα στο τρίγωνο \vartriangle KDE η διάμεσός του KN ισούται με το μισό της DE άρα είναι ορθογώνιο στο K.


Με πρόλαβε μάλλον ο Γιώργος αλλά με άλλο σκεφτικό .

Πράγματι πρόκειται για πολύ ωραία άσκηση . Δεν θυμάμαι να την έχω ξαναδεί . Αν είναι κατασκευής του Θανάση τα εύσημα μου.

Έχει και υπολογιστική λύση . Μου άρεσε και η λύση του Πρόδρομου ( τόπο στα νιάτα!) :clap2:

Re: Αστρική καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 14, 2020 6:32 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 13, 2020 8:39 pm
Αστρική καθετότητα.pngΑπό το ίχνος D της διχοτόμου AD τριγώνου ABC , με AC<AB , φέρουμε παράλληλη

προς την BA , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο E . Δείξτε ότι : BE \perp AD .

Η παράλληλη από το C προς την AB τέμνει την BE στο Z και την AM στο N και προς την BE τέμνει την AB στο H

Ισχύει \dfrac{c}{ZN}= \dfrac{BE}{EZ}= \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{c}{b} \Rightarrow ZN=b  .Αλλά  CN=c άρα CZ=BH=b-c \Rightarrow AH=AC=b

Έτσι,στο ισοσκελές τρίγωνο AHC η διχοτόμος AD θε είναι κάθετη στην HC, συνεπώς και στην παράλληλή της BEZ
Αστρική καθετότητα.png
Αστρική καθετότητα.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Re: Αστρική καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 14, 2020 7:27 pm
από KARKAR
En el triangulo ABC, la bisectriz interior del angulo A y la mediana trazada

a partir de A cortan a BC en 2 puntos distintos D y M , respectivamente.

Sea E el punto de interseccion de AM y la perpendicular a AD trazada

a partir de B. Prueba que AB y DE son paralelas .
Doloros έγραψε:
Παρ Φεβ 14, 2020 12:28 pm

Πράγματι πρόκειται για πολύ ωραία άσκηση . Δεν θυμάμαι να την έχω ξαναδεί . Αν είναι κατασκευής του Θανάση τα εύσημα μου.

Έχει και υπολογιστική λύση .
Η άσκηση είναι από τα προτεινόμενα θέματα για την Μεξικάνικη Μαθηματική Ολυμπιάδα ( δείτε

την εκφώνηση και διαπιστώστε ότι όλα είναι σχεδόν κατανοητά , παρότι στα Ισπανικά ! )

Υπολογιστική λύση Νίκο εννοείς το : AB^2-BD^2=AE^2-ED^2 ; Επίσης , η πηγαία

διατύπωση "δεν θυμάμαι να την έχω ξαναδεί " , φανερώνει την τεράστια εμπειρία του ανδρός :notworthy:

Re: Αστρική καθετότητα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Φεβ 14, 2020 7:48 pm
από STOPJOHN
KARKAR έγραψε:
Πέμ Φεβ 13, 2020 8:39 pm
Αστρική καθετότητα.pngΑπό το ίχνος D της διχοτόμου AD τριγώνου ABC , με AC<AB , φέρουμε παράλληλη

προς την BA , η οποία τέμνει τη διάμεσο AM στο σημείο E . Δείξτε ότι : BE \perp AD .
Απο το θεώρημα της διχοτόμου στο τρίγωνο ABC,BD=\dfrac{ac}{b+c},DC=\dfrac{ab}{b+c},


DE//AB\Leftrightarrow \dfrac{DE}{c}=\dfrac{2DM}{a},(1),

 DM=\dfrac{a}{2}-BD=\dfrac{a}{2}-\dfrac{ac}{b+c}\Leftrightarrow \dfrac{2DM}{a}= \dfrac{b-c}{b+c},(2),

 (1),(2)\Rightarrow DE=\dfrac{c(b-c)}{b+c},DE^{2}+c^{2}=2c^{2}.\dfrac{b^{2}+c^{2}}{(b+c)^{2}},(*)


\dfrac{2DM}{a}=\dfrac{AM-AE}{AM}\Leftrightarrow \dfrac{AE}{AM}=1-\dfrac{2DM}{a},(3), 



(2),(3)\Rightarrow \dfrac{AE}{AM}=\dfrac{2c}{b+c}\Rightarrow AE^{2}=\dfrac{4c^{2}}{(b+c)^{2}}.AM^{2}



\Rightarrow BD^{2}+AE^{2}=\dfrac{2(b^{2}+c^{2})c^{2}}{(b+c)^{2}},(**), (*),(**)\Rightarrow 


BD^{2}+AE^{2}=DE^{2}+c^{2}\Leftrightarrow BE\perp AD