Συνθήκη Παραλληλίας

#1

Να δειχθεί ότι αν η ευθεία που διέρχεται από το περίκεντρο

και το έγκεντρο

οξυγώνιου τριγώνου ABC

είναι παράλληλη στην

, τότε $\cos B+\cos C=1$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

Είναι γνωστό ότι

$\displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R},}$

όπου

και

οι ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

.
Άρα, ισχύει:

$\displaystyle{\cos B+\cos C=1\Longleftrightarrow \cos A=\frac{r}{R}\Longleftrightarrow R\cos A=r.}$

Έστω

το μέσο της πλευράς

και

το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με την πλευρά

. Τότε, είναι ID=r

και, επειδή το τρίγωνο ABC

είναι οξυγώνιο, $OM=R\cos A.$ Επομένως,

$\displaystyle{\cos B+\cos C=1\Longleftrightarrow OM=ID\Longleftrightarrow OI \parallel BC.}$

#3

achilleas έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2020 12:01 pm
Να δειχθεί ότι αν η ευθεία που διέρχεται από το περίκεντρο και το έγκεντρο οξυγώνιου τριγώνου είναι παράλληλη στην , τότε $\cos B+\cos C=1$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

H

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

και

είναι το μέσο της BC.

Είναι $\displaystyle \theta = \frac{A}{2},\varphi = \frac{{\widehat B - \widehat C}}{2}.$

: Συνθήκη παραλληλίας.png (16.58 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

$\displaystyle \cos B + \cos C = 2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B - C}}{2} = 2\sin \theta \cos \varphi = 2\frac{{ME}}{{EC}} \cdot \frac{{OE}}{{IE}} = \frac{{2R \cdot ME}}{{EC \cdot EB}} = 1$

Συνθήκη Παραλληλίας

Συνθήκη Παραλληλίας

Re: Συνθήκη Παραλληλίας

Re: Συνθήκη Παραλληλίας

Μέλη σε σύνδεση