Ενδιαφέρουσα καθετότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ενδιαφέρουσα καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 03, 2020 7:08 pm

Ενδιαφέρουσα καθετότητα.png
Ενδιαφέρουσα καθετότητα.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές
Δίνεται τεταρτοκύκλιο O \overset\frown {AB}. A) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου Q που να εφάπτεται

στις ακτίνες OA, OB στα N, M αντίστοιχα και εσωτερικά του τόξου \overset\frown {AB} στο σημείο T.

B) Αν H είναι το σημείο τομής των BN, MT, να δείξετε ότι OH\bot HQ.

Η πηγή μετά τις λύσεις.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 845
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ενδιαφέρουσα καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Φεβ 03, 2020 7:37 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Φεβ 03, 2020 7:08 pm
Ενδιαφέρουσα καθετότητα.png
Δίνεται τεταρτοκύκλιο O \overset\frown {AB}. A) Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου Q που να εφάπτεται

στις ακτίνες OA, OB στα N, M αντίστοιχα και εσωτερικά του τόξου \overset\frown {AB} στο σημείο T.

B) Αν H είναι το σημείο τομής των BN, MT, να δείξετε ότι OH\bot HQ.

Η πηγή μετά τις λύσεις.
221.PNG
221.PNG (28.74 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές
Α) Από γνωστή πρόταση για τους εφαπτόμενους εσωτερικά κύκλους η MT θα περνά από το μέσο του τόξου που ορίζει το B με το αντιδιαμετρικό του δηλαδή από το A' το αντιδιαμετρικό του A.Για την κατασκευή λοιπόν ορίζουμε T το σημείο τομής της διχοτόμου της \anlge AOB με τον κύκλο και M η τομή της TA' με την AB οπότε εύκολα προσδιορίζουμε και το Q(το QMON είναι τετράγωνο).
Β) Είναι \dfrac{OB}{ON}=\dfrac{A'O}{OM}\Rightarrow \angle OA'M=90^{\circ} -\angle BNO δηλαδή MHNO εγγράψιμο,όπως και το QMON και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ενδιαφέρουσα καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Φεβ 03, 2020 11:07 pm

Καλό βράδυ!
Ενδιαφέρουσα καθετότητα.PNG
Ενδιαφέρουσα καθετότητα.PNG (12.74 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές
Έστω ότι κατασκευάστηκε. Το OMQN έχει τρεις ορθές , άρα ορθογώνιο με QM=QN (ως ακτίνες) συνεπώς είναι τετράγωνο.

Θεωρώ ON=1 τότε R=OT=OQ+QT=\sqrt{2}+1 και AN=BM=\sqrt{2} .

Έτσι έχουμε \dfrac{AN}{ON}=\sqrt{2}=\dfrac{BA}{BO} δηλ. η BN διχοτόμος της \widehat{ABO}.

Κατασκευή:Εντοπίζουμε το N επί της OA φέροντας την διχοτόμο της \widehat{ABO} και κατασκευάζουμε το τετράγωνο ONQM.
Ο κύκλος (Q,ON) είναι ο ζητούμενος.

Β) Έχουμε \widehat{BOT}=45^\circ και με τον Ν.Σ στα τρίγωνα OMT,OBT βρίσκουμε MT^{2}=2+\sqrt{2}=BT^{2}\Rightarrow MT=BT

οπότε \widehat{BMT}=3\theta =67,5^\circ=\widehat{BNO} δηλ το MONH είναι ..ήδη εγγεγραμμένο στον περίκυκλο του τετραγώνου ONQM
και το ζητούμενο είναι φανερό. Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8046
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ενδιαφέρουσα καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Φεβ 04, 2020 8:42 pm

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα και D το αντιδιαμετρικό του A.

Επειδή DO \cdot DA = DH \cdot DT \Rightarrow 2{R^2} = DH \cdot DT \Rightarrow {\lambda ^2} = DH \cdot DT

αν αντιστρέψουμε τον κύκλο \left( {Q,QM} \right) με πόλο το D και δύναμη αντιστροφής {\lambda ^2} = D{B^2} αυτός θα μείνει αναλλοίωτος.

Κατασκευή :

Ενδιαφέρουσα καθετότητα_1.png
Ενδιαφέρουσα καθετότητα_1.png (33.66 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
Ο κύκλος \left( {D,\lambda } \right) τέμνει την OA στο N ,

Το μέσο T του τεταρτοκυκλίου είναι το άλλο σημείο επαφής

και το συμμετρικό M, του N ως προς την OT το τρίτο σημείο επαφής .

Επειδή το τετράπλευρο ONQM είναι τετράγωνο αναγκαστικά η \widehat {MTN} = 45^\circ .

Όμως η γωνία \widehat {ATB} = 135^\circ , οπότε λόγω συμμετρίας \widehat {BTM} = \widehat {NTA} = 45^\circ .

Το τρίγωνο TBN είναι ισοσκελές ορθογώνιο άρα BN \bot TM.

Έτσι ο κύκλος του τετραγώνου ONQM θα διέρχεται από το H κι αφού η OQ είναι διάμετρος σ αυτόν τον κύκλο η εγγεγραμμένη γωνία \widehat {OHQ} = 90^\circ .

Εναλλακτική κατασκευή .

Γράφω τον κύκλο κέντρου T ( μέσου του τεταρτοκυκλίου ) και ακτίνας TA = TB και τέμνει τις OA\,\,,\,\,OB στα N,M.

Τώρα μπορούμε να την λύσουμε σαν ειδική περίπτωση Αυτής


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ενδιαφέρουσα καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 13, 2020 1:36 pm

Ευχαριστώ τον Πρόδρομο, τον Γιώργο και τον Νίκο για τις πολύ ωραίες λύσεις τους.

Η άσκηση ανήκει στον Carmos Hugo Olivera Diaz από το Περού.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Demetres και 1 επισκέπτης