Σελίδα 1 από 1

Συνευθειακά με το περίκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 01, 2020 2:34 pm
από Γιώργος Μήτσιος
Καλό μήνα σε όλους!
Συνευθειακά με το περίκεντρο.PNG
Συνευθειακά με το περίκεντρο.PNG (9.29 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές
Έστω τρίγωνο ABC με AB=AC και \widehat{A}< 120^\circ. Θεωρούμε σημείο E στην ημιευθεία AC ώστε να ισχύει \dfrac{BC}{AE}=2sin\dfrac{3A}{2}.

Αν O το περίκεντρο του τριγώνου ABC τότε: Να εξεταστεί αν τα B,O,E είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ εκ' των προτέρων, Γιώργος.

Re: Συνευθειακά με το περίκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 01, 2020 3:10 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Φεβ 01, 2020 2:34 pm
Καλό μήνα σε όλους!
Συνευθειακά με το περίκεντρο.PNG
Έστω τρίγωνο ABC με AB=AC και \widehat{A}< 120^\circ. Θεωρούμε σημείο E στην ημιευθεία AC ώστε να ισχύει \dfrac{BC}{AE}=2sin\dfrac{3A}{2}.

Αν O το περίκεντρο του τριγώνου ABC τότε: Να εξεταστεί αν τα B,O,E είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ εκ' των προτέρων, Γιώργος.
Ορίζω ως E την τομή της BO με την AC και θα δείξω ότι \dfrac{BC}{AE}=2sin\dfrac{3A}{2}
Από νόμο ημιτόνων στο AEB είναι \dfrac{AE}{\sin\left ( 90^{\circ}-\angle B \right )}=\dfrac{AB}{\sin\left ( \angle A+90^{\circ}-\angle B \right )}\Leftrightarrow AE\cdot \sin\dfrac{3\angle A}{2}=AB\sin\dfrac{\angle A}{2}=\dfrac{BC}{2}\Leftrightarrow
\Leftrightarrow \dfrac{BC}{AE}=2\sin\dfrac{3A}{2}

Re: Συνευθειακά με το περίκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 01, 2020 5:46 pm
από george visvikis
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Φεβ 01, 2020 2:34 pm
Καλό μήνα σε όλους!
Συνευθειακά με το περίκεντρο.PNG
Έστω τρίγωνο ABC με AB=AC και \widehat{A}< 120^\circ. Θεωρούμε σημείο E στην ημιευθεία AC ώστε να ισχύει \dfrac{BC}{AE}=2sin\dfrac{3A}{2}.

Αν O το περίκεντρο του τριγώνου ABC τότε: Να εξεταστεί αν τα B,O,E είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ εκ' των προτέρων, Γιώργος.
Καλησπέρα!

Έστω B, O, E συνευθειακά. Θα δείξω ότι \displaystyle \frac{{BC}}{{AE}} = 2\sin \frac{{3A}}{2}
Περίκεντρο-συνευθειακά.png
Περίκεντρο-συνευθειακά.png (17.89 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Έστω H σημείο του μικρού τόξου \overset\frown {AC}, ώστε C\widehat BH=\dfrac{\widehat A}{2}. Τότε \displaystyle B\widehat AH = \frac{{3\widehat A}}{2}

\displaystyle O\widehat AE = C\widehat BH = \frac{A}{2},B\widehat HC = A\widehat OE = \widehat A, άρα τα τρίγωνα AOE, BHC είναι όμοια.

\displaystyle \frac{{BC}}{{AE}} = \frac{BH}{{R}} = 2\sin \frac{{3A}}{2}

Re: Συνευθειακά με το περίκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 02, 2020 11:32 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα! Να ευχαριστήσω τους Πρόδρομο και Γιώργο για τις ωραίες απαντήσεις τους!

Σε επόμενη ανάρτηση θα δώσω τη διαδρομή μέσω της οποίας έφτασα στην εν λόγω πρόταση:

Τα B,O,E είναι συνευθειακά αν και μόνο αν \dfrac{BC}{AE}=2sin\dfrac{3A}{2}

Ας θέσω ακόμη ένα (διπλό) ζητούμενο και προς τους .. :) ..\Phi ίλους του χρυσού λόγου \Phi

Αν O το περίκεντρο τριγώνου ABC και σημείο E επί της ημιευθείας AC(*) να βρεθεί η γωνία \widehat{A} στις περιπτώσεις:

Ι) Αν AB=AC< BC και \dfrac{BC}{AE}=\Phi  αλλά και

ΙΙ) Αν AB=AC>  BC και \dfrac{BC^{2}}{AE^{2}}=2+\sqrt{3-\Phi }.
Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
Υ.Γ (*) ώστε τα B,O,E να είναι συνευθειακά.

Re: Συνευθειακά με το περίκεντρο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Φεβ 13, 2020 9:31 pm
από Γιώργος Μήτσιος
Χαιρετώ.Δίνω συνοπτικά τον τρόπο με τον οποίο βρήκα τη σχέση \dfrac{BC}{AE}= 2sin\dfrac{3A}{2}.
Συνευθειακά με το περίκεντρο ΙΙ.PNG
Συνευθειακά με το περίκεντρο ΙΙ.PNG (8.3 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές
Στη μεσοκάθετο του BC θεωρώ το σημείο N ώστε \widehat{ACN}=\widehat{BAC}=2x . Από τα ίσα τρίγωνα ABE,CAN έπεται AE=CN

ενώ y=\widehat{C}-\widehat{A}=\dfrac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2} -\widehat{A}=90^{\circ} -\dfrac{3\widehat{A}}{2}.Έτσι \dfrac{BC}{AE}=2\dfrac{CM}{CN}=2cosy=2sin\dfrac{3A}{2}.

Φιλικά, Γιώργος.