Τόπο στην Γεωμετρία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11363
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τόπο στην Γεωμετρία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 23, 2020 12:40 pm

Τόπο  στην  Γεωμετρία.png
Τόπο στην Γεωμετρία.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
Σημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB. Γράφω τον κύκλο (S,O,B) και το εφαπτόμενο

προς αυτόν τμήμα AE . Οι BS,OE τέμνονται στο σημείο T . Γράφω και τον κύκλο : (A, O , T) .

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του T ... β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του (A, O , T) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τόπο στην Γεωμετρία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιαν 24, 2020 4:19 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 23, 2020 12:40 pm
Τόπο στην Γεωμετρία.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB. Γράφω τον κύκλο (S,O,B) και το εφαπτόμενο

προς αυτόν τμήμα AE . Οι BS,OE τέμνονται στο σημείο T . Γράφω και τον κύκλο : (A, O , T) .

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του T ... β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του (A, O , T) .
Τόπο στην Γεωμετρία.png
Τόπο στην Γεωμετρία.png (17.36 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές
α) Από την ομοιότητα των τριγώνων AEO, AEB, παίρνω \displaystyle AE = R\sqrt 2 και EB=x\sqrt 2.

Είναι ακόμα, \displaystyle TE \cdot TO = TS \cdot TB = T{O^2} - {R^2} \Rightarrow TO(TO - TE) = {R^2} \Leftrightarrow TO = \frac{{{R^2}}}{x}

Με νόμο συνημιτόνων διαδοχικά στα τρίγωνα AOE και TOB βρίσκω πρώτα \displaystyle \cos \varphi  = \frac{{{R^2} - {x^2}}}{{2Rx}} και στη συνέχεια

\displaystyle T{B^2} = \frac{{{R^4}}}{{{x^2}}} + {R^2} - 2R\frac{{{R^2}}}{x} \cdot \frac{{{R^2} - {x^2}}}{{2Rx}} \Leftrightarrow TB = R\sqrt 2 που σημαίνει ότι το T κινείται σε κύκλο κέντρου B

και ακτίνας R\sqrt 2. Επειδή όμως το S κινείται στο ημικύκλιο, ο γ. τόπος περιορίζεται στο τετρατοκύκλιο B \overset\frown{PQ}.


β) Έστω N το μέσο του AO. Προφανώς το κέντρο M του κύκλου βρίσκεται στη μεσοκάθετο του AO.
Τόπο στην Γεωμετρία.β.png
Τόπο στην Γεωμετρία.β.png (19.5 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές
Όταν το S πλησιάζει το A η μεσοκάθετος επεκτείνεται απεριόριστα προς τα κάτω, ενώ όταν το S πάρει τη θέση του B,

το T παίρνει τη θέση του P (προηγούμενο ερώτημα). Έτσι ο γ. τόπος είναι η ημιευθεία KN όπου NK=R\sqrt 2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες