Παλαιολόγος

KARKAR · #1

: Παλαιολόγος.png (12.51 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

Πάνω στην ακτίνα

, τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο

, με :

. Σχεδιάζω

και το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{KL}$ , το οποίο τέμνει το αρχικό στο σημείο

. Ο κύκλος (K,KO)

τέμνει
το μικρό τεταρτοκύκλιο στο

. Αν τα

είναι συνευθειακά , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AK}{KO}$ .
Αν το τμήμα

, τέμνει το μεγάλο τεταρτοκύκλιο στο

, υπολογίστε και τον λόγο : $\dfrac{LP}{PB}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 21, 2020 8:13 pm
Παλαιολόγος.pngΠάνω στην ακτίνα , τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο , με : . Σχεδιάζω

και το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{KL}$ , το οποίο τέμνει το αρχικό στο σημείο . Ο κύκλος τέμνει
το μικρό τεταρτοκύκλιο στο . Αν τα είναι συνευθειακά , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AK}{KO}$ .
Αν το τμήμα , τέμνει το μεγάλο τεταρτοκύκλιο στο , υπολογίστε και τον λόγο : $\dfrac{LP}{PB}$ .

Παλιός μεν αλλά πανάκριβος δε .

Τα ισοσκελή τρίγωνα $OAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,ATS$ έχουν μια γωνία τω βάσεών τους κοινή ( $\widehat {ASO}$ ) και άρα είναι όμοια .

Επειδή $\widehat {KTO} = \widehat {TKS} + \widehat {TSK} \Rightarrow 2\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}}$ .

Έτσι αν $AK = x \Rightarrow KO = R - x = KT = KS\,\,$ . Από τα όμοια τρίγωνα : $OAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,ATS$ έχω:

$\boxed{\frac{{OA}}{{AT}} = \frac{{AS}}{{TS}} \Rightarrow \frac{R}{x} = \frac{x}{{R - x}} \Rightarrow {x^2} = R\left( {R - x} \right)}$

: παλαιολόγος_1.png (36.89 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

Δηλαδή το

προσδιορίζεται αν χωρίσω την

σε μέσο κι άκρο λόγο . Αρα $\boxed{\frac{{AK}}{{KO}} = \phi }$

Αν φέρω την προβολή του

στην

από το Π. Θ. έχω :

$LB = \sqrt {{R^2} + {{\left( {R - x} \right)}^2}} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {R - \dfrac{R}{\phi }} \right)}^2}} = R\sqrt {\dfrac{{2{\phi ^2} - 2\phi + 1}}{{{\phi ^2}}}}$ .

Αλλά ${\phi ^2} = \phi + 1$ και έτσι : $\boxed{LB = \frac{R}{\phi }\sqrt 3 = x\sqrt 3 }$ .

Επειδή $A{L^2} = LP \cdot LB \Rightarrow {x^2} = LP \cdot x\sqrt 3 \Rightarrow \boxed{LP = \frac{x}{{\sqrt 3 }}}$ . $\boxed{PB = LB - LP = \frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}} \Rightarrow \boxed{\frac{{LP}}{{PB}} = \frac{1}{2}}$

Παλαιολόγος

Παλαιολόγος

Re: Παλαιολόγος

Μέλη σε σύνδεση