Κύκλοι σε ισόπλευρο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11703
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κύκλοι σε ισόπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 21, 2020 2:51 pm

Κύκλοι σε ισόπλευρο.png
Κύκλοι σε ισόπλευρο.png (19.82 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Στην πλευρά AC , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε σημείο K , ώστε : AK>KC .

Ο κύκλος (K,KA) τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S , ενώ ο κύκλος (K,KC) τέμνει

τις AC , BC στα σημεία P, Q αντίστοιχα . α) Βρείτε την θέση του K για την οποία η SQ

εφάπτεται του μικρού κύκλου και δείξτε ότι το SP είναι το άλλο εφαπτόμενο τμήμα .

β) Βρείτε την θέση του K ώστε οι εφαπτόμενες από το S στον μικρό κύκλο είναι κάθετες .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9563
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κύκλοι σε ισόπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 21, 2020 6:08 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 21, 2020 2:51 pm
Κύκλοι σε ισόπλευρο.pngΣτην πλευρά AC , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε σημείο K , ώστε : AK>KC .

Ο κύκλος (K,KA) τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S , ενώ ο κύκλος (K,KC) τέμνει

τις AC , BC στα σημεία P, Q αντίστοιχα . α) Βρείτε την θέση του K για την οποία η SQ

εφάπτεται του μικρού κύκλου και δείξτε ότι το SP είναι το άλλο εφαπτόμενο τμήμα .

β) Βρείτε την θέση του K ώστε οι εφαπτόμενες από το S στον μικρό κύκλο είναι κάθετες .
Κύκλοι σε ισόπλευρο.Κ.png
Κύκλοι σε ισόπλευρο.Κ.png (33.95 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
α) \displaystyle AK = 2KC ............. β) \displaystyle AK = KC\sqrt 2

Edit: Άρση απόκρυψης. (Τετ Ιαν 22 2020 8:14 am)


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1896
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κύκλοι σε ισόπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Ιαν 22, 2020 12:23 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 21, 2020 2:51 pm
Κύκλοι σε ισόπλευρο.pngΣτην πλευρά AC , ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε σημείο K , ώστε : AK>KC .

Ο κύκλος (K,KA) τέμνει την πλευρά AB στο σημείο S , ενώ ο κύκλος (K,KC) τέμνει

τις AC , BC στα σημεία P, Q αντίστοιχα . α) Βρείτε την θέση του K για την οποία η SQ

εφάπτεται του μικρού κύκλου και δείξτε ότι το SP είναι το άλλο εφαπτόμενο τμήμα .

β) Βρείτε την θέση του K ώστε οι εφαπτόμενες από το S στον μικρό κύκλο είναι κάθετες .
α) Είναι

PK=KC=QK=x,AP=a-2x,BQ=a-x,KQ=KC=QC, 
 
      PQ\perp BC,\hat{QPC}=30^{0}=\hat{PQK}=\hat{SQB},\hat{SQP}=60^{0},KQ\perp SQ,

Το τρίγωνο BSQ είναι ορθογώνιο γιατί \hat{SQB}=30^{0},\hat{B}=60^{0},SQ\perp AB, και SQ^{2}=BQ^{2}-BS^{2}\Rightarrow SQ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a-x),AS=\dfrac{a+x}{2},

Στο τρίγωνο ASL,AK=KL,QK//AS,2QK=AS\Leftrightarrow \dfrac{a+x}{4}=x\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{3}=KC

Αρα SQ=\dfrac{a\sqrt{3}}{3},SP^{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3},SP=SQ από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο ASP τελικα SK είναι μεσοκάθετος στο τμήμα RQ, και το τρίγωνο SRQ είναι ισόπλευρο και SP\perp PK

συνεχίζεται με το β ερώτημα

στο σχήμα 2 ,το τετράπλευρο SMKN είναι τετράγωνο και KC=KM=SM=SN=NK=x

Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο SLJ,LJ^{2}=2SL^{2}\Rightarrow          R=x\sqrt{2},R=AK,a=AK+KC\Rightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{2}+1}=

         a(\sqrt{2}-1)
Συνημμένα
Κυκλοι σε ισοπλευρο   σχήμα 2.png
Κυκλοι σε ισοπλευρο σχήμα 2.png (88.83 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές
Κύκλοι σε ισόπλευρο ,σχήμα 1.png
Κύκλοι σε ισόπλευρο ,σχήμα 1.png (113.15 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης