Ώρα συνημιτόνου 6

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11364
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα συνημιτόνου 6

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 20, 2020 8:24 pm

Ώρα  συνημιτόνου.png
Ώρα συνημιτόνου.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 152 φορές
Στην πλευρά BC=a , τετραγώνου ABCD θεωρώ σημείο E , ώστε : BE=\dfrac{a}{3} .

Ο κύκλος (D,DE) τέμνει την AB στο Z και την προέκταση της BA στο H , ενώ οι

DZ,HE τέμνονται στο S . Η κάθετη της HE στο S , τέμνει την DE στο σημείο T .

Υπολογίστε το : \cos\theta , ( \theta=\widehat{EHT} ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1210
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ώρα συνημιτόνου 6

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Ιαν 20, 2020 11:17 pm

Καλό βράδυ. Πολύχρονος και πάντοτε παραγωγικός ο Θεματοθέτης!
Με τη βοήθεια του σχήματος που ακολουθεί.

Ας είναι για ευκολία a=6\Rightarrow BE=2 . Τα τρίγωνα DEC,DAZ και DAH είναι προφανώς ίσα

και δίνουν το τρίγωνο DEH ως ορθογώνιο και ισοσκελές οπότε το ορθογώνιο SET με 45άρα γωνία

είναι επίσης ισοσκελές κι' ακόμη AH=AZ=CE=4.

Οι DZ,CB τέμνονται στο M. Από τα όμοια DAZ,BMZ παίρνουμε BM=3.

Το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο BEH και διατέμνουσα την MZS δίνει \dfrac{ES}{SH}\cdot \dfrac{HZ}{ZB}\cdot \dfrac{BM}{ME}=1\Rightarrow \dfrac{ES}{SH}=\dfrac{5}{12}

συνεπώς  tan\theta =\dfrac{TS}{SH}=\dfrac{ES}{SH}=\dfrac{5}{12} και έπεται cos\theta =\dfrac{12}{13}. Φιλικά, Γιώργος.
Συνημμένα
Ωρα ...εφαπτομένης.PNG
Ωρα ...εφαπτομένης.PNG (12.75 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1772
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα συνημιτόνου 6

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιαν 21, 2020 12:31 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 20, 2020 8:24 pm
Ώρα συνημιτόνου.pngΣτην πλευρά BC=a , τετραγώνου ABCD θεωρώ σημείο E , ώστε : BE=\dfrac{a}{3} .

Ο κύκλος (D,DE) τέμνει την AB στο Z και την προέκταση της BA στο H , ενώ οι

DZ,HE τέμνονται στο S . Η κάθετη της HE στο S , τέμνει την DE στο σημείο T .

Υπολογίστε το : \cos\theta , ( \theta=\widehat{EHT} ) .

Έστω BE \cap (D,DE)=P ,HD \cap (D,DE) =Q .Από Π.Θ εύκολα DE= \dfrac{a \sqrt{13} }{3}

Αν BZ=x \Rightarrow BH=2a-x και BE . BP=BZ . BH \Rightarrow  \dfrac{a}{3} .  \dfrac{5a}{3}=x(2a-x) \Rightarrow x= \dfrac{a}{3} \Rightarrow  \angle EZB=45^0

Επομένως, \angle Q=45^0 και  \triangle QEH ορθογώνιο ισοσκελές με ED ύψος του,συνεπώς DTSH εγγράψιμο  \Rightarrow ED \bot DH

Από το ορθογώνιο τρίγωνο  DAZ \Rightarrow sin \phi = \dfrac{AZ}{DZ}= \dfrac{2}{ \sqrt{13} } άρα  cos \phi = \dfrac{3}{ \sqrt{13} } και  sin2 \phi = \dfrac{12}{13}=cos \theta
ώρα συνημιτόνου.png
ώρα συνημιτόνου.png (36.55 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα συνημιτόνου 6

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 21, 2020 3:06 am

Ας είναι a = 6k\,\, και G το σημείο τομής των DS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB. Αβίστα προκύπτουν:

BE = BZ = 2k,\,CE = ZA = AH = 4k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BG = 3k.

Επειδή 90^\circ  = \widehat {ADC} = 2\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {BDE} και AE = AZ = AH = R , τα \vartriangle AHE\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle SET είναι ισοσκελή ορθογώνια

και το τετράπλευρο AHST είναι εγγράψιμο.
Ώρα συνημιτόνου 6.png
Ώρα συνημιτόνου 6.png (26.31 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \tan (\omega  + \theta ) = \frac{{CG}}{{CD}} = \frac{3}{2} \hfill \\ 
  \tan \omega  = \frac{{CE}}{{CD}} = \frac{2}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Αλλά \tan (\omega  + \theta ) = \dfrac{{\tan \omega  + \tan \theta }}{{1 - \tan \omega  \cdot \tan \theta }} \Rightarrow \boxed{\tan \theta  = \dfrac{{12}}{5}} δηλαδή το τρίγωνο SHT \to \left( {12,13,5} \right)

και έτσι \boxed{\cos \theta  = \frac{{12}}{{13}}}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1867
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα συνημιτόνου 6

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Ιαν 21, 2020 10:59 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 20, 2020 8:24 pm
Ώρα συνημιτόνου.pngΣτην πλευρά BC=a , τετραγώνου ABCD θεωρώ σημείο E , ώστε : BE=\dfrac{a}{3} .

Ο κύκλος (D,DE) τέμνει την AB στο Z και την προέκταση της BA στο H , ενώ οι

DZ,HE τέμνονται στο S . Η κάθετη της HE στο S , τέμνει την DE στο σημείο T .

Υπολογίστε το : \cos\theta , ( \theta=\widehat{EHT} ) .

Απο το Π.Θ στο τρίγωνο DCE,DE=\dfrac{a\sqrt{13}}{3},

Αν BZ=x,DZ^{2}=a^{2}+(a-x)^{2}\Rightarrow \dfrac{13a^{2}}{9}=a^{2}+(a-x)^{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{3},AZ=\dfrac{2a}{3},,

EB//DA\Rightarrow \dfrac{KB}{KA}=\dfrac{EB}{AD}\Rightarrow KB=\dfrac{a}{2},HA^{2}=\dfrac{13a^{2}}{9}-a^{2}\Rightarrow HA=\dfrac{2a}{3},
Απο το εγράψιμο τετράπλευρο HDST,\hat{HTS}=90^{0}-\theta =\hat{HDZ}=180^{0}-2\hat{\omega },\hat{\omega }=\hat{DHA}, 2\omega -\hat{\theta }=90^{0}

\Leftrightarrow \hat{\theta }=2\omega -90^{0},

cos\theta =sin2\omega ,sin2\omega =2.\frac{3.2}{13},cos\theta =\dfrac{12}{13}
Συνημμένα
Ωρα συνημιτόνου 6.png
Ωρα συνημιτόνου 6.png (82.11 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα συνημιτόνου 6

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 21, 2020 2:13 pm

Η λύση του Γιάννη πιο πάνω μου έβαλε ιδέες .


Ας είναι a = 6k \Rightarrow CE = 4k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE = 2k. Επειδή το DA απόστημα στη χορδή HZ θα είναι HA = AZ.

Όμως λόγω συμμετρίας AZ = CE = 4k.

Αφού στο ισοσκελές τρίγωνο DHZ το ύψος είναι και διχοτόμος θα είναι :

\widehat {HDA} = \widehat {ADZ} και από τα ίσα τρίγωνα DAZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DCE έχω: \widehat {ADZ} = \widehat {EDC}.

Δηλαδή \boxed{\widehat {HDA} = \widehat {ADZ} = \widehat {EDC} = \widehat \phi }.
Ώρα συνημιτόνου 6_new.png
Ώρα συνημιτόνου 6_new.png (22.95 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές
Επειδή \widehat {ADC} = 2\widehat \phi  + \widehat \theta  = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {HDE} = 90^\circ , άρα το τετράπλευρο HDTS είναι εγγράψιμο και \boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat \theta }.

\widehat {HDC} = 90^\circ  + \widehat {{\phi _{}}} = 3\widehat {{\phi _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 90^\circ  - 2\widehat {{\phi _{}}}} .Έτσι :

\boxed{\cos \theta  = \sin 2\phi  = \dfrac{{2\tan \phi }}{{1 + {{\tan }^2}\phi }} = \dfrac{{2 \cdot \dfrac{2}{3}}}{{1 + \dfrac{4}{9}}} = \dfrac{{12}}{{13}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης