Απλή μεγιστοποίηση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11370
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απλή μεγιστοποίηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 20, 2020 1:37 pm

Απλή  μεγιστοποίηση.png
Απλή μεγιστοποίηση.png (8.32 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές
Η πλευρά AC=b του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC είναι σταθερή , ενώ η AB είναι μεταβλητή

αλλά μικρότερη της AC . Η παράλληλη από το μέσο M της υποτείνουσας BC προς την CA ,

τέμνει το ύψος AD στο σημείο L . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου MLB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Απλή μεγιστοποίηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Ιαν 20, 2020 2:05 pm

20-01-2020 Maximum.png
20-01-2020 Maximum.png (28.48 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

Έστω b = 1 σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων.

Οπότε A(0,0), B(t, 0), 0<t<1, C(0,1) και  \displaystyle M\left( {\frac{t}{2},\;\frac{1}{2}} \right) .

 \displaystyle \left( {{\lambda _{BC}} =  - \frac{1}{t},\;\;AD \bot BC} \right) \Rightarrow {\lambda _{AD}} = t , οπότε  \displaystyle AD:\;y = tx,\;\;ML:\;\;x = \frac{t}{2} , άρα  \displaystyle L\left( {\frac{t}{2},\;\frac{{{t^2}}}{2}} \right) .

 \displaystyle \left( {MLB} \right) = \frac{{ML \cdot d\left( {B,\;ML} \right)}}{2} = \frac{{\left( {\frac{{1 - {t^2}}}{2}} \right)\frac{t}{2}}}{2} = \frac{{ - {t^3} + t}}{8}

Η συνάρτηση  \displaystyle f\left( t \right) =  - {t^3} + t,\;\;t \in \left( {0,1} \right) έχει παράγωγο  \displaystyle f'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 1

και παρουσιάζει μέγιστο για  \displaystyle t = \frac{{\sqrt 3 }}{3} , οπότε  \displaystyle {\left( {MLB} \right)_{\max }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 3 }}{9} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{8} \cdot b^2= \frac{{\sqrt 3 }}{{36}}{b^2} .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7038
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απλή μεγιστοποίηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 21, 2020 3:33 am

Ας είναι K η προβολή του Mστην AB\,. Θέτω : AK = KB = x\,,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,0 < x < \dfrac{b}{2}.

Επειδή \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{C_{}}} τα ισοσκελή τρίγωνα : MCA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LAB είναι όμοια άρα :

\dfrac{{LK}}{x} = \dfrac{{2x}}{b} \Rightarrow LK = \dfrac{{2{x^2}}}{b}\,\,(1). Άρα ML = MK - LK = \dfrac{b}{2} - \dfrac{{2{x^2}}}{b} = \dfrac{{{b^2} - 4{x^2}}}{{2b}} .
Απλή μεγιστοποίηση.png
Απλή μεγιστοποίηση.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές
\left( {MLB} \right) = \dfrac{1}{2}ML \cdot BK = \dfrac{{ - 4{x^3} + {b^2}x}}{{4b}} = f(x)\,\,.

Η f έχει ακρότατο στο {x_0} = \dfrac{b}{{2\sqrt 3 }}\,\, το \boxed{f({x_0}) = \dfrac{{{b^2}\sqrt 3 }}{{36}}}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1868
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Απλή μεγιστοποίηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Ιαν 21, 2020 10:23 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 20, 2020 1:37 pm
Απλή μεγιστοποίηση.pngΗ πλευρά AC=b του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC είναι σταθερή , ενώ η AB είναι μεταβλητή

αλλά μικρότερη της AC . Η παράλληλη από το μέσο M της υποτείνουσας BC προς την CA ,

τέμνει το ύψος AD στο σημείο L . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου MLB .
Εστω AB=x,

(MLB)=\dfrac{1}{4}CB.LD,(1),,

Από μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο

ABC,AD=\dfrac{bx}{a},MD=CD-\dfrac{a}{2}

=\dfrac{2b^{2}-a^{2}}{2a},

ML/AC\Leftrightarrow \dfrac{LD}{AD}=\dfrac{MD}{CD}\

 LD=AD.\dfrac{MD}{CD}\Rightarrow LD=\dfrac{x(b^{2}-x^{2})}{2b(\sqrt{b^{2}+x^{2}})},(2),

 (1),(2)\Rightarrow (MLB)=\dfrac{x(b^{2}-x^{2})}{8b}=f(x)

και το μέγιστο είναι f_{max}(\dfrac{b\sqrt{3}}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{36}.b^{2}
Συνημμένα
Απλή μεγιστοποίηση.png
Απλή μεγιστοποίηση.png (31.7 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απλή μεγιστοποίηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 21, 2020 1:15 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 20, 2020 1:37 pm
Απλή μεγιστοποίηση.pngΗ πλευρά AC=b του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC είναι σταθερή , ενώ η AB είναι μεταβλητή

αλλά μικρότερη της AC . Η παράλληλη από το μέσο M της υποτείνουσας BC προς την CA ,

τέμνει το ύψος AD στο σημείο L . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου MLB .
Έστω \widehat C=L\widehat MB=x. Τότε, \displaystyle (MLB) = \frac{1}{2}ML \cdot MB\sin x = \frac{a}{4}ML\sin x
Απλή μεγιστοποίηση.png
Απλή μεγιστοποίηση.png (10.56 KiB) Προβλήθηκε 61 φορές
Αλλά, \displaystyle \cos x = \frac{{MD}}{{ML}} \Leftrightarrow ML = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{2a\cos x}} και \displaystyle c = b\tan x,a = \frac{b}{{\cos x}}. Αντικαθιστώντας έχω:

\boxed{(MLB) = \frac{{{b^2}}}{8}(\tan x - {\tan ^3}x)} που παρουσιάζει για \displaystyle \tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \boxed{x = 30^\circ} μέγιστη τιμή

ίση με \boxed{{(MLB)_{\max }} = \frac{{{b^2}\sqrt 3 }}{{36}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης