Ημικύκλιο και τεταρτοκύκλιο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7212
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ημικύκλιο και τεταρτοκύκλιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 14, 2020 2:17 am

Ημικύκλιο και τεταρτοκύκλιο.png
Ημικύκλιο και τεταρτοκύκλιο.png (26.63 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Δίδεται ημικύκλιο κέντρου M και διαμέτρου BC.

Να βρείτε σημείο A του ημικυκλίου τέτοιο ώστε αν σχεδιάσουμε το τεταρτοκύκλιο

κέντρου B και ακτίνας BA( έξω από το τρίγωνο ABC) να είναι AM \bot CD.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9375
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ημικύκλιο και τεταρτοκύκλιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 14, 2020 10:15 am

Doloros έγραψε:
Τρί Ιαν 14, 2020 2:17 am
Ημικύκλιο και τεταρτοκύκλιο.png

Δίδεται ημικύκλιο κέντρου M και διαμέτρου BC.

Να βρείτε σημείο A του ημικυκλίου τέτοιο ώστε αν σχεδιάσουμε το τεταρτοκύκλιο

κέντρου B και ακτίνας BA( έξω από το τρίγωνο ABC) να είναι AM \bot CD.
Ημικύκλιο και τεταρτοκύκλιο.Φ.png
Ημικύκλιο και τεταρτοκύκλιο.Φ.png (22.75 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές
Γράφω διαδοχικά το τόξο χορδής BC που δέχεται γωνία 135^\circ και το τόξο χορδής BM που δέχεται γωνία 45^\circ.

Αν τα τόξα αυτά τέμνονται στο N, η MN τέμνει το ημικύκλιο στο ζητούμενο σημείο A. Η απόδειξη είναι απλή.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ημικύκλιο και τεταρτοκύκλιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Ιαν 16, 2020 2:31 am

Χαιρετώ όλους τους \Phiίλους!
Ημικύκλιο ..N.F.PNG
Ημικύκλιο ..N.F.PNG (15.82 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές
Δεξιά στο σχήμα η DB τέμνει τον κύκλο των A,B,C στο H. Είναι \widehat{ABH}=90^\circ οπότε AMH διάμετρος και το ABHC ορθογώνιο.

Έχουμε AD^{2}=2c^{2}...DH=b+c και DC \perp AH. Από τη συνθήκη καθετότητας παίρνουμε

DH^{2}-CH^{2}=DA^{2}-AC^{2}\Leftrightarrow \left ( b+c \right )^{2}-c^{2}=2c^{2}-b^{2} \Leftrightarrow ...c^{2}-bc-b^{2}=0\Leftrightarrow \left (\dfrac{c}{b}  \right )^{2}-\dfrac{c}{b}-1=0

άρα \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{c}{b}=\Phi (χρυσός λόγος.)
Κατασκευή: Σχηματίζουμε αριστερά την γωνία \widehat{ONM}=\omega με tan\omega =\dfrac{OM}{ON}=\Phi και δεξιά την \widehat{BCA}= \omega .

Το ζητούμενο σημείοA του ημικυκλίου έχει εντοπιστεί! \Phi ιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7212
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ημικύκλιο και τεταρτοκύκλιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 16, 2020 4:02 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Ιαν 16, 2020 2:31 am
Χαιρετώ όλους τους \Phiίλους!
Ημικύκλιο ..N.F.PNG
Δεξιά στο σχήμα η DB τέμνει τον κύκλο των A,B,C στο H. Είναι \widehat{ABH}=90^\circ οπότε AMH διάμετρος και το ABHC ορθογώνιο.

Έχουμε AD^{2}=2c^{2}...DH=b+c και DC \perp AH. Από τη συνθήκη καθετότητας παίρνουμε

DH^{2}-CH^{2}=DA^{2}-AC^{2}\Leftrightarrow \left ( b+c \right )^{2}-c^{2}=2c^{2}-b^{2} \Leftrightarrow ...c^{2}-bc-b^{2}=0\Leftrightarrow \left (\dfrac{c}{b}  \right )^{2}-\dfrac{c}{b}-1=0

άρα \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{c}{b}=\Phi (χρυσός λόγος.)
Κατασκευή: Σχηματίζουμε αριστερά την γωνία \widehat{ONM}=\omega με tan\omega =\dfrac{OM}{ON}=\Phi και δεξιά την \widehat{BCA}= \omega .

Το ζητούμενο σημείοA του ημικυκλίου έχει εντοπιστεί! \Phi ιλικά, Γιώργος.


Ωραίοι οι Γιώργηδες :coolspeak: . Την περίμενα τη λύση σου,Γιώργο Μήτσιο, γιατί η άσκηση έχει σαν "μαγιά" τη χρυσή τομή και είναι γνωστές οι ευαισθησίες σου!. Στο "βάθος" έχει και Απολλώνιο Κύκλο.
.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης