Κι άλλη όμορφη καθετότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κι άλλη όμορφη καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 13, 2020 7:34 pm

Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png
Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png (13.66 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές
Από τα άκρα A, B της διαμέτρου AOB ενός ημικυκλίου φέρνω τις εφαπτόμενες ημιευθείες Ax, By και έστω P

σημείο της Ax. Μία τρίτη εφαπτομένη του ημικυκλίου τέμνει τις Ax, By στα M, Q αντίστοιχα. Αν M είναι το

μέσο του AP να δείξετε ότι OP\bot AQ.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 471
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Κι άλλη όμορφη καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Ιαν 13, 2020 7:42 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιαν 13, 2020 7:34 pm
Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png
Από τα άκρα A, B της διαμέτρου AOB ενός ημικυκλίου φέρνω τις εφαπτόμενες ημιευθείες Ax, By και έστω P

σημείο της Ax. Μία τρίτη εφαπτομένη του ημικυκλίου τέμνει τις Ax, By στα M, Q αντίστοιχα. Αν M είναι το

μέσο του AP να δείξετε ότι OP\bot AQ.
Καλησπέρα!
Έστω ότι η MQ εφάπτετεται του ημικυκλίου στο D.Είναι BD\perp AD,MO\perp AD\Rightarrow AD//MO
Επίσης στο τρίγωνο ABP η MO ενώνει τα μέσα των AP,AB άρα MP//BP που δίνει ότι P,D,B συνευθειακά.Δηλαδή το P ανήκει στην πολική του Q και από La Hire η AQ θα είναι η πολική του  P και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1148
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Κι άλλη όμορφη καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Ιαν 13, 2020 11:46 pm

Καλό βράδυ! Με χρήση του σχήματος
Όμορφη καθετότητα.PNG
Όμορφη καθετότητα.PNG (12.32 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Οι PO,AQ τέμνονται στο F. Αρκεί οι οξείες γωνίες του τριγώνου FOQ να έχουν άθροισμα μία ορθή.

Από σχολική άσκηση είναι \widehat{MOQ}=\theta +\omega =90^\circ .Τότε \widehat{PMO}=90^\circ +\widehat{AOM}=\widehat{AOQ}.

Ακόμη \widehat{AOM}=\theta =\widehat{DQO} αφού \theta +\omega =90^\circ . Έτσι \dfrac{PM}{MO}=\dfrac{AM}{MO}=sin\theta =\dfrac{OD}{OQ}=\dfrac{OA}{OQ}

και συνεπώς τα τρίγωνα POM,AOQ είναι όμοια με \widehat{POM}=\widehat{AQO}=x

οπότε \widehat{FOQ}+\widehat{FQO}=\widehat{FOQ}+x=\widehat{MOQ}=90^\circ άρα OP \perp AQ. Φιλικά, Γιώργος.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1841
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κι άλλη όμορφη καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Ιαν 14, 2020 10:41 am

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιαν 13, 2020 7:34 pm
Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png
Από τα άκρα A, B της διαμέτρου AOB ενός ημικυκλίου φέρνω τις εφαπτόμενες ημιευθείες Ax, By και έστω P

σημείο της Ax. Μία τρίτη εφαπτομένη του ημικυκλίου τέμνει τις Ax, By στα M, Q αντίστοιχα. Αν M είναι το

μέσο του AP να δείξετε ότι OP\bot AQ.
Καλημέρα

Εστω AM=MP=b,QB=a,

Από το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο


APQ,QP^{2}+AQ^{2}=2MQ^{2}+\dfrac{AP^{2}}{2}

          \Rightarrow QP^{2}=4b^{2}+a^{2}, PQ^{2}+AQ^{2}=4b^{2}+a^{2}+R^{2},(1),

           AP^{2}+OQ^{2}=4b^{2}+R^{2}+a^{2},(2),

        \hat{MOQ}=90^{0}, 

(1),(2)\Rightarrow AP^{2}+OQ^{2}=PQ^{2}+AO^{2}\Leftrightarrow AQ\perp OP
Συνημμένα
Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png
Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png (75.53 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3971
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κι άλλη όμορφη καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Ιαν 14, 2020 6:19 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Ιαν 13, 2020 7:34 pm
Κι άλλη όμορφη καθετότητα.png
Από τα άκρα A, B της διαμέτρου AOB ενός ημικυκλίου φέρνω τις εφαπτόμενες ημιευθείες Ax, By και έστω P

σημείο της Ax. Μία τρίτη εφαπτομένη του ημικυκλίου τέμνει τις Ax, By στα M, Q αντίστοιχα. Αν M είναι το

μέσο του AP να δείξετε ότι OP\bot AQ.
Στο σχήμα του Γιώργου (Μήτσιος)

Από το ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle MOQ,OM\bot OQ (διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών) για το ύψος OD προς την υποτείνουσα έχουμε:
O{{D}^{2}}=DM\cdot DQ\Rightarrow OA\cdot \dfrac{AB}{2}=AM\cdot BQ=\dfrac{AP}{2}\cdot BQ\Rightarrow \ldots \dfrac{OA}{AP}=\dfrac{BQ}{AB}\Rightarrow OP\bot AQ


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6874
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κι άλλη όμορφη καθετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 14, 2020 7:59 pm

Πρώτα-πρώτα να συγχαρώ τον νεαρό Φωτιάδη για την ωραία λύση του .

Αν D το σημείο επαφής της MQ με το ημικύκλιο διαμέτρου \overline {AOB}  = 2R

αυτό θ ανήκει και στο ημικύκλιο διαμέτρου \overline {AMP}  = 2r

θα τις βλέπει δε υπό ορθές γωνίες, άρα τα σημεία B,D,P είναι συνευθειακά.

Φέρνω τώρα και την από το P εφαπτομένη στο ημικύκλιο διαμέτρου \overline {AOB} .

Ας είναι E το σημείο επαφής και N το σημείο που η PE τέμνει την By.
κι άλλη όμορφη καθετότητα_2.png
κι άλλη όμορφη καθετότητα_2.png (31.95 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές
Επειδή η PO είναι μεσοκάθετος στο AE το σημείο τομής τους T θα ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου \overline {AMP} .

Επίσης η ON είναι μεσοκάθετος στην BEκαι έστω ότι την τέμνει στο F.

Θέτω \boxed{BN = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,NQ = b}

Τα ορθογώνια τρίγωνα AOP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BNO είναι προφανώς όμοια.

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{a + b}}{r} = \frac{{BQ}}{{MP}} = \frac{{BD}}{{DP}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{P^2}}} = \frac{{{R^2}}}{{{r^2}}} \hfill \\ 
  \frac{R}{{2r}} = \frac{{OB}}{{AP}} = \frac{{BN}}{{AO}} = \frac{a}{R} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {R^2} = r\left( {a + b} \right) \hfill \\ 
  {R^2} = 2ra \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{a = b}

Συνεπώς η AE αν προεκταθεί προς το E θα διέλθει από το Q.

Παρατήρηση :

Οι κύκλοι \left( {O,R} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {M,r} \right) είναι ορθογώνιοι ( Ίσως απ’ αυτό βρούμε κι άλλη λύση)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης