Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1632
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Ιαν 13, 2020 2:12 pm

Μία άσκηση που έφτιαξα ...

Έστω οξύγωνιο τρίγωνο \vartriangle ABC και M,N σημεία των πλευρών AB,AC αντίστοιχα, ώστε CA=CM, BA=BN. Έστω ακόμη ότι οι κύκλοι (B,BM) και (C,CN) τέμνουν τα μικρά AB,AC τόξα του κύκλου (A,B,C) στα σημεία P,Q, αντίστοιχα.

Έστω τέλος, D,E τα ίχνη των υψών από τα B,C.

Να αποδείξετε ότι PQ \parallel DE.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9781
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 13, 2020 4:45 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Δευ Ιαν 13, 2020 2:12 pm
Μία άσκηση που έφτιαξα ...


Edit:Η παραπάνω λύση ήταν εσφαλμένη, γιατί για κάποιο λόγο ( ;) ) μου φάνηκε ότι τα M, N ήταν μέσα των πλευρών AB, AC. Στην ουσία έλυσα άλλη άσκηση. Την διέγραψα και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί. Ευχαριστώ τον Ορέστη για την ειδοποίηση.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9781
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 13, 2020 7:22 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Δευ Ιαν 13, 2020 2:12 pm
Μία άσκηση που έφτιαξα ...

Έστω οξύγωνιο τρίγωνο \vartriangle ABC και M,N σημεία των πλευρών AB,AC αντίστοιχα, ώστε CA=CM, BA=BN. Έστω ακόμη ότι οι κύκλοι (B,BM) και (C,CN) τέμνουν τα μικρά AB,AC τόξα του κύκλου (A,B,C) στα σημεία P,Q, αντίστοιχα.

Έστω τέλος, D,E τα ίχνη των υψών από τα B,C.

Να αποδείξετε ότι PQ \parallel DE.

Ορίζω διαφορετικά τα P, Q ως τα σημεία τομής των CM, BN αντίστοιχα με τον περιγεγραμμένο κύκλο και θα δείξω ότι BP=BM και CQ=CN.
Orestis...png
Orestis...png (27.41 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Από τα ισοσκελή BAN, CAM προκύπτει ότι \displaystyle B\widehat MC = B\widehat NC, άρα AMNC είναι εγγράψιμο. Είναι ακόμα,

\displaystyle B\widehat PC = \widehat A = B\widehat QC. Αλλά, \displaystyle P\widehat MB = A\widehat MC = \widehat A = A\widehat NB = Q\widehat NC. Άρα, BP=BM και

CQ=CN, δηλαδή τα P, Q είναι τα σημεία τομής των κύκλων (B, BM), (C, CN) με τον περίκυκλο,

όπως ορίζει η εκφώνηση. Επειδή τώρα τα E, D είναι μέσα των AM, AN θα είναι DE||MN. Αρκεί λοιπόν,

PQ||MN. Πράγματι, \displaystyle M\widehat NB = P\widehat CB = P\widehat QB και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης