Αξιοθαύμαστη σταθερότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αξιοθαύμαστη σταθερότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 12, 2020 8:15 am

Αξιοθαύμαστη  σταθερότητα.png
Αξιοθαύμαστη σταθερότητα.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
Στο ημιεπίπεδο ημικυκλίου με διάμετρο AOB , βρίσκεται το κέντρο σταθερού κύκλου ,

διερχόμενου από τα σημεία O,B . Σημείο S κινείται στον κύκλο . Η κάθετη από το A

προς την SO , τέμνει την SB στο σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος : \dfrac{AT}{SO} είναι σταθερός

και βρείτε εκείνους τους κύκλους , για τους οποίους : \dfrac{AT}{SO}= 1 , \acute{\eta} : \dfrac{AT}{SO}=\dfrac{2}{3} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9449
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αξιοθαύμαστη σταθερότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 12, 2020 10:54 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 12, 2020 8:15 am
Αξιοθαύμαστη σταθερότητα.pngΣτο ημιεπίπεδο ημικυκλίου με διάμετρο AOB , βρίσκεται το κέντρο σταθερού κύκλου ,

διερχόμενου από τα σημεία O,B . Σημείο S κινείται στον κύκλο . Η κάθετη από το A

προς την SO , τέμνει την SB στο σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος : \dfrac{AT}{SO} είναι σταθερός

και βρείτε εκείνους τους κύκλους , για τους οποίους : \dfrac{AT}{SO}= 1 , \acute{\eta} : \dfrac{AT}{SO}=\dfrac{2}{3} .
Έστω r η ακτίνα του ημικυκλίου, R η ακτίνα του κύκλου, P το αντιδιαμετρικό του S και M

το σημείο τομής των OP, BS. Προφανώς \displaystyle OM|| = \frac{{AT}}{2}.

Αξ. σταθερότητα.png
Αξ. σταθερότητα.png (21.06 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές
Από την ομοιότητα των τριγώνων OMB, MSP είναι \displaystyle \frac{r}{{2R}} = \frac{{OM}}{{SM}} = \frac{{AT}}{{2SM}} \Leftrightarrow SM = \frac{R}{r}AT

Πυθαγόρειο στο SOM: \displaystyle {\left( {\frac{R}{r}AT} \right)^2} = O{S^2} + \frac{{A{T^2}}}{4} \Leftrightarrow \boxed{ \frac{{AT}}{{SO}} = \frac{{2r}}{{\sqrt {4{R^2} - {r^2}} }}}

Εύκολα τώρα, \boxed{\frac{{AT}}{{SO}} = 1 \Rightarrow R = \frac{{r\sqrt 5 }}{2}} και \boxed{\frac{{AT}}{{SO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow R = \frac{{r\sqrt {10} }}{2}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αξιοθαύμαστη σταθερότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 14, 2020 2:00 am

Αφού είναι σταθερός ο κύκλος και η χορδή του OB = 2a θα είναι σταθερή και η γωνία \widehat {{S_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}.

Αν D το συμμετρικό του S ως προς το O, το τετράπλευρο SADBείναι παραλληλόγραμμο ( δεν έχει σχεδιαστεί) .

Αν από το D φέρω παράλληλη στην AT και κόψει την SB στο E θα είναι παραλληλόγραμμο και το τετράπλευρο ADET οπότε DE = AT.

\dfrac{{AT}}{{SO}} = \dfrac{{2AT}}{{SD}} = 2\dfrac{{DE}}{{DS}} = 2\tan \theta  = 2\dfrac{{MB}}{{MK}} = 2\dfrac{a}{{\sqrt {{R^2} - {a^2}} }}
Αξιοθαύμαστη σταθερότητα_2.png
Αξιοθαύμαστη σταθερότητα_2.png (27.68 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές
Για :\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AT}}{{SO}} = 1 \hfill \\ 
  \frac{{AT}}{{SO}} = \frac{2}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{2a}}{{\sqrt {{R^2} - {a^2}} }} = 1 \hfill \\ 
  \frac{{2a}}{{\sqrt {{R^2} - {a^2}} }} = \frac{2}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  R = a\sqrt 5  \hfill \\ 
  R = a\sqrt {10}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης