Τετράγωνα!

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 789
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Τετράγωνα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιαν 10, 2020 12:26 am

206.PNG
206.PNG (26.11 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές
Έστω ABCD τετράγωνο.Με κορυφή C κατασκευάζουμε εξωτερικά του, τετράγωνο CEZF (όχι απαραίτητα ίσο με το αρχικό).Με κορυφές D,Z κατασκευάζουμε το τετράγωνο DZKN όπως στο σχήμα και τέλος το τετράγωνο NBLT.
α) Δείξτε ότι τα T,D,F είναι συνευθειακά.
β)Υπολογίστε τον λόγο \dfrac{TD}{DF}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7531
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράγωνα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 10, 2020 4:24 am

Αγνοώ προσωρινά το τελευταίο τετράγωνο.
Τετράγωνα_a.png
Τετράγωνα_a.png (34.31 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές
Είναι ίσα τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων : \left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle BCE = \vartriangle DCF \hfill \\ 
  \vartriangle DZF = \vartriangle KZE \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \left( {\Pi  - \Gamma  - \Pi } \right) με άμεση συνέπεια :

DF \bot  = BE\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KE \bot  = DF \Rightarrow \boxed{KE = EB} . (1)

Επειδή στο σημείο τομής S των DF,BE έχω τις πιο πάνω καθετότητες το σημείο

αυτό S είναι τελικά το ριζικό κέντρων των τριών κύκλων των τετραγώνων και βλέπει τις τρεις πλευρές των τετραγώνων υπό 45^\circ και την τέταρτη υπό 135^\circ .

Πάμε τώρα στο όλο σχήμα
Τετράγωνα_b.png
Τετράγωνα_b.png (39.53 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές


Τώρα είναι ίσα τα τρίγωνα TND\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BNK και θα είναι TD \bot  = KB ( καθετότητα πάλι στο S) . Άρα

α) τα σημεία F,D,T ανήκουν στη ίδια ευθεία

β) \boxed{\frac{{TF}}{{DF}} = \frac{{KB}}{{DF}}\mathop  = \limits^{(1)} \frac{{2EB}}{{EB}} = 2} .


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 322
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Τετράγωνα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Παρ Ιαν 10, 2020 10:47 pm

Και με στροφή Διανύσματος(κλέβω από το Διονύση σε παρόμοια άσκηση):
Θεωρούμε την αριστερόστροφη στροφή κατα 90 μοίρες,έστω \varphi.
Είναι \varphi(\vec{KZ}+\vec{ZE})=\varphi(\vec{KZ})+\varphi(\vec{ZE})=\vec{KN}+\vec{FZ}=\vec{FD}
και όμοια \varphi(\vec{EC}+\vec{CB})=\vec{FD},δηλαδή K,E,B συνευθειακά(και KE=EB).
Τέλος (απλό ) \varphi(\vec{FC}+\vec{CD})=\vec{BE} και όμοια \varphi(\vec{DN}+\vec{NT})=\vec{BK} που δίνει τη συνευθειακότητα λόγω της συγγραμικότητας των \vec{BE},\vec{BK}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες