Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση

KARKAR · #1

: Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές

Η χορδή

, ενός κύκλου (O)

, είναι κάθετη στην διάμετρο

( "νότια" του κέντρου

) .

Έστω σημείο

του ( μικρού ) τόξου $\overset{\frown}{AN}$ . Η διχοτόμος της $\widehat{PAB}$ , τέμνει την

στο

.

Σχεδιάζω ( πώς ; ) νέο κύκλο , ο οποίος εφάπτεται της

στο

και διέρχεται από το

,

ο οποίος τέμνει τον (O)

στο σημείο

. Δείξτε ότι τα σημεία N,T,D

είναι συνευθειακά

και εντοπίστε τη θέση του

, για την οποία το σημείο

είναι το μέσο του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 02, 2020 12:38 pm
Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση.pngΗ χορδή , ενός κύκλου , είναι κάθετη στην διάμετρο ( "νότια" του κέντρου ) .

Έστω σημείο του ( μικρού ) τόξου $\overset{\frown}{AN}$ . Η διχοτόμος της $\widehat{PAB}$ , τέμνει την στο .

Σχεδιάζω ( πώς ; ) νέο κύκλο , ο οποίος εφάπτεται της στο και διέρχεται από το ,

ο οποίος τέμνει τον στο σημείο . Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά

και εντοπίστε τη θέση του , για την οποία το σημείο είναι το μέσο του .

Το

από κατασκευής είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC

Αν η ευθεία

κόψει ακόμα τον κύκλο $\left( O \right)$ στο

, επειδή

και $\displaystyle \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \frac{1}{2}\widehat {BPC}}$

Η ευθεία ${g_4} \equiv ES$ είναι μεσοκάθετη στο

. Η ευθεία ${g_3}$ κάθετη στην

στο

τέμνει την ${g_3}$ στο σημείο

. κέντρο του κύκλου που ζητάμε να σχεδιάσουμε .

Η

αν προεκταθεί τέμνει την

στο σημείο

κι επειδή :

$\widehat {{a_4}} = 2\widehat {{a_3}}$ ( εξωτερική στο ισοσκελές τρίγωνο KTF

) και $\widehat {{a_4}} = 2\widehat {{a_5}}$

(η γωνία υπό χορδής κι εφαπτομένης ισούται με τη μισή της αντιστοίχου επίκεντρου)

Θα είναι $\widehat {{a_5}} = \widehat {{a_3}}$ συνεπώς το

ανήκει στον $\left( K \right)$

: Σίγουρη συνευθειακότητα πιθανή διχοτόμηση.png (50.59 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Μετά απ’ αυτά : $DT \bot TF$ ( αφού η $\widehat {FTD}$ βαίνει σε ημικύκλιο του κύκλου $\left( K \right)$ )

Και $NT \bot TS$ ( αφού η $\widehat {STN}$ βαίνει σε ημικύκλιο του κύκλου $\left( O \right)$ )

Αλλά στο

επί την $\overline {TSF}$ μια και μόνη κάθετος άγεται , συνεπώς τα σημεία N,D,T

Ανήκουν σε μια ευθεία.

Για να πετύχουμε τώρα DT = DN

επειδή θα είναι τότε $OD \bot TN$ έχω την εξής κατασκευή .

Το «δυτικό» ημικύκλιο διαμέτρου

με τον κύκλο $\left( {S,SA} \right)$ $\left( {S,SA} \right)$ τέμνονται στο

Η

τέμνει το τόξο χορδής

του κύκλου $\left( O \right)$ στο

.

Επειδή SA = SB = SD

και η

διχοτομεί την $\widehat {APB}$ , το

είναι το έγκεντρο του

$\vartriangle PAB$ προφανώς δε αφού $NO = OS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OD//ST \Rightarrow ND = DT$ .

Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση

Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση

Re: Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση