Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11896
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 02, 2020 12:38 pm

Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση.png
Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
Η χορδή AB , ενός κύκλου (O) , είναι κάθετη στην διάμετρο NS ( "νότια" του κέντρου O ) .

Έστω σημείο P του ( μικρού ) τόξου \overset{\frown}{AN} . Η διχοτόμος της \widehat{PAB} , τέμνει την PS στο D .

Σχεδιάζω ( πώς ; ) νέο κύκλο , ο οποίος εφάπτεται της AD στο D και διέρχεται από το B ,

ο οποίος τέμνει τον (O) στο σημείο T . Δείξτε ότι τα σημεία N,T,D είναι συνευθειακά

και εντοπίστε τη θέση του P , για την οποία το σημείο D είναι το μέσο του NT .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7546
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 03, 2020 3:38 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιαν 02, 2020 12:38 pm
Βέβαιη συνευθειακότητα , πιθανή διχοτόμηση.pngΗ χορδή AB , ενός κύκλου (O) , είναι κάθετη στην διάμετρο NS ( "νότια" του κέντρου O ) .

Έστω σημείο P του ( μικρού ) τόξου \overset{\frown}{AN} . Η διχοτόμος της \widehat{PAB} , τέμνει την PS στο D .

Σχεδιάζω ( πώς ; ) νέο κύκλο , ο οποίος εφάπτεται της AD στο D και διέρχεται από το B ,

ο οποίος τέμνει τον (O) στο σημείο T . Δείξτε ότι τα σημεία N,T,D είναι συνευθειακά

και εντοπίστε τη θέση του P , για την οποία το σημείο D είναι το μέσο του NT .
Το D από κατασκευής είναι το έγκεντρο του τριγώνου ABC

Αν η ευθεία BD κόψει ακόμα τον κύκλο \left( O \right) στο E, επειδή EB = ED = EA και \displaystyle \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \frac{1}{2}\widehat {BPC}}

Η ευθεία {g_4} \equiv ES είναι μεσοκάθετη στο DB. Η ευθεία {g_3} κάθετη στην DA στο D τέμνει την {g_3} στο σημείο K . κέντρο του κύκλου που ζητάμε να σχεδιάσουμε .

Η DK αν προεκταθεί τέμνει την TS στο σημείο F κι επειδή :

\widehat {{a_4}} = 2\widehat {{a_3}} ( εξωτερική στο ισοσκελές τρίγωνο KTF) και \widehat {{a_4}} = 2\widehat {{a_5}}

(η γωνία υπό χορδής κι εφαπτομένης ισούται με τη μισή της αντιστοίχου επίκεντρου)

Θα είναι \widehat {{a_5}} = \widehat {{a_3}} συνεπώς το F ανήκει στον \left( K \right)

Σίγουρη συνευθειακότητα πιθανή διχοτόμηση.png
Σίγουρη συνευθειακότητα πιθανή διχοτόμηση.png (50.59 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές
Μετά απ’ αυτά : DT \bot TF ( αφού η \widehat {FTD} βαίνει σε ημικύκλιο του κύκλου \left( K \right))

Και NT \bot TS ( αφού η \widehat {STN} βαίνει σε ημικύκλιο του κύκλου \left( O \right))

Αλλά στο T επί την \overline {TSF} μια και μόνη κάθετος άγεται , συνεπώς τα σημεία N,D,T

Ανήκουν σε μια ευθεία.

Για να πετύχουμε τώρα DT = DN επειδή θα είναι τότε OD \bot TN έχω την εξής κατασκευή .

Το «δυτικό» ημικύκλιο διαμέτρου ON με τον κύκλο \left( {S,SA} \right)\left( {S,SA} \right) τέμνονται στο D.

Η SD τέμνει το τόξο χορδής AN του κύκλου \left( O \right) στο P.

Επειδή SA = SB = SD και η SD διχοτομεί την \widehat {APB} , το D είναι το έγκεντρο του

\vartriangle PAB προφανώς δε αφού NO = OS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OD//ST \Rightarrow ND = DT.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες