mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 01, 2020 12:08 am**

: 198.PNG (23.18 KiB) Προβλήθηκε 1293 φορές

Καλή χρονιά σε όλους!
Έστω τρίγωνο ABC

με

. Αν

το έκκεντρο του ABC

και

το μέσο του τόξου $\overset{\frown }{BC}$ που δεν περιέχει το

να δείξετε ότι AI=BM

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 01, 2020 1:30 am**

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2020 12:08 am
198.PNG

Καλή χρονιά σε όλους!
Έστω τρίγωνο με . Αν το έκκεντρο του και το μέσο του τόξου $\overset{\frown }{BC}$ που δεν περιέχει το να δείξετε ότι .

Καλή Χρονιά!

: Θ.Φ.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 1277 φορές

Είναι γνωστό ότι MB=MI=MC.

Από Πτολεμαίο στο εγγεγραμμένο ABMC:

$\displaystyle c \cdot MC + b \cdot MB = a \cdot AM \Leftrightarrow (b + c)BM = aAM \Leftrightarrow AM = 2BM$ και το ζητούμενο έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 01, 2020 2:03 am**

Καλή χρονιά σε όλους! Πρόλαβε ο Γιώργος , παρά το ..

..μεταμεσονύκτιον της ώρας (*)
Ας αφήσω το σχήμα που δικαιολογεί την σχέση IM=BM=MC

: Ισα τμήματα.PNG (11.67 KiB) Προβλήθηκε 1273 φορές

(*)Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι..

.. ο

όπως και η N.Y

ποτέ δεν κοιμάται;
Φιλικά, Γιώργος.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 01, 2020 3:26 pm**

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2020 12:08 am

198.PNG
Καλή χρονιά σε όλους!
Έστω τρίγωνο με . Αν το έκκεντρο του και το μέσο του τόξου $\overset{\frown }{BC}$ που δεν περιέχει το να δείξετε ότι .

Καλή Χρονιά σε όλους !!

Μία ελαφρώς διαφορετική λύση ...

Έστω, $Q \equiv AM \cap BC$ .

Από Θ. Διχοτόμου, είναι $BQ=\dfrac{ac}{b+c}=\dfrac{c}{2}$ , οπότε, $\dfrac{AI}{IQ}=\dfrac{BA}{BQ}=2 \Rightarrow IQ=AI/2$ .

Επίσης, $\angle QBM=\angle CAM=\angle BAM$ , άρα η

εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle BAQ$ .

Οπότε, (χρησιμοποιώ το MB=MI

) $MI^2=MB^2=MQ \cdot MA \Rightarrow (MQ+QI)^2=MQ \cdot (MQ+QI+IA)$ $\Rightarrow (MQ+AI/2)^2=MQ(MQ+3AI/2) \Rightarrow AI=2MQ$ .

Οπότε, $AI=2MQ=2QI \Rightarrow MQ=QI \Rightarrow AI=2MQ=MQ+QI=MI=MB$ , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε !!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 01, 2020 9:38 pm**

Καλή χρονιά να έχουμε .

: Τα Ισα τμήματα του Θεοδόση_a.png (27.4 KiB) Προβλήθηκε 1186 φορές

$\left\{ \begin{gathered} s = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3a}}{2}\,\,\, \hfill \\ AD = s - a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AD = NC$ και αφού προφανώς $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ τα ορθογώνια

τρίγωνα $DAI\,\,\kappa \alpha \iota \,NCM$ έχουν κάθετες πλευρές ίσες και τις προσκείμενες σ αυτές οξείες γωνίες ίσες , άρα είναι ίσα .

Θα έχουν λοιπόν και τις υποτείνουσες ίσες . Δηλαδή AI = MC = MB

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 02, 2020 2:30 am**

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 01, 2020 12:08 am
198.PNG

Καλή χρονιά σε όλους!
Έστω τρίγωνο με . Αν το έκκεντρο του και το μέσο του τόξου $\overset{\frown }{BC}$ που δεν περιέχει το να δείξετε ότι .