Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το

: 31-12 Τριχοτόμηση τμήματος...PNG (11.64 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές

Σε τρίγωνο ABC

θεωρούμε τα σημεία $E \in AC$ και $Z \in AB$ με

την τομή των BE,CZ

.

Το σημείο

(Runner) διατρέχει την πλευρά

. Φέρουμε $RI \parallel BE$ και $RH\parallel CZ$ με $I \in AC$ και $H \in AB$ .

Η

τέμνει τις

και

στα

και

αντιστοίχως. Αν το

τριχοτομείται $\left ( IK=KL=LH \right )$ τότε

Να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ZAEF \right )}$ είναι ακέραιος.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Ορέστης Λιγνός · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 31, 2019 1:40 pm
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το
31-12 Τριχοτόμηση τμήματος...PNG
Σε τρίγωνο θεωρούμε τα σημεία $E \in AC$ και $Z \in AB$ με την τομή των .

Το σημείο (Runner) διατρέχει την πλευρά . Φέρουμε $RI \parallel BE$ και $RH\parallel CZ$ με $I \in AC$ και $H \in AB$ .

Η τέμνει τις και στα και αντιστοίχως. Αν το τριχοτομείται $\left ( IK=KL=LH \right )$ τότε

Να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ZAEF \right )}$ είναι ακέραιος.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο και Χρόνια Πολλά!

Όμορφη άσκηση!

Έστω, $X \equiv HR \cap BE, Y \equiv RI \cap CZ$ .

Τότε, έχουμε $HX \parallel FK$ και HL=LK

, οπότε

. Όμοια έχουμε FK=KY

.

Άρα, στο τρίγωνο $\vartriangle FXY$ η

συνδέει τα μέσα των FX,FY

, οπότε $LK \parallel XY$ .
Συνεπώς, $XY \parallel HI$ , συνεπώς $\dfrac{HX}{XR}=\dfrac{IY}{YR}$ (1).

Επίσης, $HR \parallel ZC \Rightarrow \dfrac{HX}{XR}=\dfrac{ZF}{FC}$ (2).
Όμοια, $RI \parallel BE \Rightarrow \dfrac{IY}{YR}=\dfrac{EF}{FB}$ (3).

Συνδυάζοντας τις (1), (2), και (3) έχουμε ότι $\dfrac{EF}{FB}=\dfrac{ZF}{FC}$ , οπότε $ZE \parallel BC$ (4).

Έστω τώρα $\angle ABE=\phi, \angle BEC=\omega, \angle BZC=x, \angle ACZ=y$ .

Λόγω των παραλληλιών $HR \parallel ZC, RI \parallel BE$ , έχω $\dfrac{BH}{HZ}=\dfrac{BR}{RC}=\dfrac{EI}{IC} \Rightarrow \dfrac{BH}{EI}=\dfrac{HZ}{IC}$ .

Επίσης, χρησιμοποιώντας τον Ν. Ημιτόνων :

$\bullet$ $\dfrac{BH}{EI}=\dfrac{\dfrac{BH}{\sin \angle HLB}}{\dfrac{EI}{\sin \angle ELI}}=\dfrac{\dfrac{HL}{\sin \phi}}{\dfrac{LI}{\sin \omega}}=\dfrac{\sin \omega}{2\sin \phi}=\dfrac{AB}{2AE}$ .

$\bullet$ $\dfrac{HZ}{IC}=\dfrac{\dfrac{HZ}{\sin \angle ZKH}}{\dfrac{IC}{\sin \angle IKC}}=\dfrac{\dfrac{HK}{\sin x}}{\dfrac{KI}{\sin y}}=\dfrac{2\sin y}{\sin x}=\dfrac{2AZ}{AC}$ .

Οπότε, προκύπτει ότι $\dfrac{AB}{2AE}=\dfrac{2AZ}{AC} \Rightarrow \dfrac{AE}{AC} \cdot \dfrac{AZ}{AB}=1/4$ .

Όμως, από την (4) $ZE \parallel BC \Rightarrow \dfrac{AZ}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ , οπότε έχω εύκολα ότι $\dfrac{AZ}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=1/2$ , δηλαδή τα Z,E

είναι μέσα των AB,AC

.

Τώρα πλέον είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι $\dfrac{(BAC)}{(AZFE)}=3$ , δηλαδή ο λόγος είναι ακέραιος.

Και η απόδειξη ολοκληρώθηκε !!!

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλή χρονιά! Σ' ευχαριστώ Ορέστη για την αναλυτική σου λύση!
Ας δούμε και την ακόλουθη με χρήση του σχήματος

: Τριχοτόμηση..Β.PNG (7.29 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές

Λόγω των παραλληλιών έχουμε $\dfrac{FC}{FZ}=\dfrac{QR}{QH}=\dfrac{LI}{LH}=2..(1)$ και $\dfrac{FB}{FE}=\dfrac{PR}{PI}=\dfrac{KH}{KI}=2..(2)$ .

Απ' αυτές αποδεικνύεται (*) ότι το

είναι το βαρύκεντρο του ABC

Με γνωστό ότι οι τρεις διάμεσοι χωρίζουν το τρίγωνο σε

ισεμβαδικά τρίγωνα παίρνουμε $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ZAEF \right )}=\dfrac{6}{2}=3$ .

(*) Αν δεν καλυφθεί η απόδειξη προτίθεμαι να επανέλθω. Φιλικά, Γιώργος

Γιώργος Μήτσιος · #4

Επανέρχομαι για την ως άνω εκκρεμή απόδειξη , με χρήση του σχήματος

: Βαρύκεντρο.PNG (8.52 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

Αν ισχύουν BF=2FE

και

θα δείξουμε ότι το

είναι το βαρύκεντρο του ABC

με τη βοήθεια των εμβαδών.

Θέτω $\left ( FEC \right )=x$ και $\left ( AFE\right )=y$ . Τότε (BFC)=2x

και

.

Ακόμη $\left ( CAF \right )=2\left ( ZAF \right )\Rightarrow \left ( ZAF \right )=\dfrac{x+y}{2}$ ενώ $\left ( BAF \right ) =2\left ( AFE \right )\Rightarrow x+\dfrac{x+y}{2}=2y\Rightarrow \boxed{x=y}$

άρα τα E,Z

είναι τα μέσα και

είναι το βαρύκεντρο . Φιλικά, Γιώργος.

Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

Re: Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

Re: Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

Re: Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

Μέλη σε σύνδεση