Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Δεκ 31, 2019 1:40 pm

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το :santalogo:
31-12 Τριχοτόμηση τμήματος...PNG
31-12 Τριχοτόμηση τμήματος...PNG (11.64 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές
Σε τρίγωνο ABC θεωρούμε τα σημεία E \in AC και Z  \in AB με F την τομή των BE,CZ.

Το σημείο R (Runner) διατρέχει την πλευρά BC. Φέρουμε RI \parallel BE και RH\parallel CZ με I \in AC και H \in AB.

Η IH τέμνει τις CZ και BE στα K και L αντιστοίχως. Αν το IH τριχοτομείται \left ( IK=KL=LH \right ) τότε

Να εξεταστεί αν ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ZAEF \right )} είναι ακέραιος.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1644
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Δεκ 31, 2019 4:28 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Δεκ 31, 2019 1:40 pm
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το :santalogo:
31-12 Τριχοτόμηση τμήματος...PNG
Σε τρίγωνο ABC θεωρούμε τα σημεία E \in AC και Z  \in AB με F την τομή των BE,CZ.

Το σημείο R (Runner) διατρέχει την πλευρά BC. Φέρουμε RI \parallel BE και RH\parallel CZ με I \in AC και H \in AB.

Η IH τέμνει τις CZ και BE στα K και L αντιστοίχως. Αν το IH τριχοτομείται \left ( IK=KL=LH \right ) τότε

Να εξεταστεί αν ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ZAEF \right )} είναι ακέραιος.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο και Χρόνια Πολλά!

Όμορφη άσκηση! :)

Έστω, X \equiv HR \cap BE, Y \equiv RI \cap CZ.

Τότε, έχουμε HX \parallel FK και HL=LK, οπότε XL=LF. Όμοια έχουμε FK=KY.

Άρα, στο τρίγωνο \vartriangle FXY η LK συνδέει τα μέσα των FX,FY , οπότε LK \parallel XY.
Συνεπώς, XY \parallel HI, συνεπώς \dfrac{HX}{XR}=\dfrac{IY}{YR} (1).

Επίσης, HR \parallel ZC \Rightarrow \dfrac{HX}{XR}=\dfrac{ZF}{FC} (2).
Όμοια, RI \parallel BE \Rightarrow \dfrac{IY}{YR}=\dfrac{EF}{FB} (3).

Συνδυάζοντας τις (1), (2), και (3) έχουμε ότι \dfrac{EF}{FB}=\dfrac{ZF}{FC}, οπότε ZE \parallel BC (4).

Έστω τώρα \angle ABE=\phi, \angle BEC=\omega, \angle BZC=x, \angle ACZ=y.

Λόγω των παραλληλιών HR \parallel ZC, RI \parallel BE, έχω \dfrac{BH}{HZ}=\dfrac{BR}{RC}=\dfrac{EI}{IC} \Rightarrow \dfrac{BH}{EI}=\dfrac{HZ}{IC}.

Επίσης, χρησιμοποιώντας τον Ν. Ημιτόνων :

\bullet \dfrac{BH}{EI}=\dfrac{\dfrac{BH}{\sin \angle HLB}}{\dfrac{EI}{\sin \angle ELI}}=\dfrac{\dfrac{HL}{\sin \phi}}{\dfrac{LI}{\sin \omega}}=\dfrac{\sin \omega}{2\sin \phi}=\dfrac{AB}{2AE}.

\bullet \dfrac{HZ}{IC}=\dfrac{\dfrac{HZ}{\sin \angle ZKH}}{\dfrac{IC}{\sin \angle IKC}}=\dfrac{\dfrac{HK}{\sin x}}{\dfrac{KI}{\sin y}}=\dfrac{2\sin y}{\sin x}=\dfrac{2AZ}{AC}.

Οπότε, προκύπτει ότι \dfrac{AB}{2AE}=\dfrac{2AZ}{AC} \Rightarrow \dfrac{AE}{AC} \cdot \dfrac{AZ}{AB}=1/4.

Όμως, από την (4) ZE \parallel BC \Rightarrow \dfrac{AZ}{AB}=\dfrac{AE}{AC}, οπότε έχω εύκολα ότι \dfrac{AZ}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=1/2, δηλαδή τα Z,E είναι μέσα των AB,AC.

Τώρα πλέον είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι \dfrac{(BAC)}{(AZFE)}=3, δηλαδή ο λόγος είναι ακέραιος.

Και η απόδειξη ολοκληρώθηκε !!!


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Ιαν 01, 2020 10:41 pm

Καλή χρονιά! Σ' ευχαριστώ Ορέστη για την αναλυτική σου λύση!
Ας δούμε και την ακόλουθη με χρήση του σχήματος
Τριχοτόμηση..Β.PNG
Τριχοτόμηση..Β.PNG (7.29 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
Λόγω των παραλληλιών έχουμε \dfrac{FC}{FZ}=\dfrac{QR}{QH}=\dfrac{LI}{LH}=2..(1) και \dfrac{FB}{FE}=\dfrac{PR}{PI}=\dfrac{KH}{KI}=2..(2) .

Απ' αυτές αποδεικνύεται (*) ότι το F είναι το βαρύκεντρο του ABC

Με γνωστό ότι οι τρεις διάμεσοι χωρίζουν το τρίγωνο σε 6 ισεμβαδικά τρίγωνα παίρνουμε \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ZAEF \right )}=\dfrac{6}{2}=3.

(*) Αν δεν καλυφθεί η απόδειξη προτίθεμαι να επανέλθω. Φιλικά, Γιώργος


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιαν 04, 2020 5:13 pm

Επανέρχομαι για την ως άνω εκκρεμή απόδειξη , με χρήση του σχήματος
Βαρύκεντρο.PNG
Βαρύκεντρο.PNG (8.52 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές
Αν ισχύουν BF=2FE και CF=2FZ θα δείξουμε ότι το F είναι το βαρύκεντρο του ABC με τη βοήθεια των εμβαδών.

Θέτω \left ( FEC \right )=x και \left ( AFE\right )=y. Τότε (BFC)=2x και (BFZ)=x .

Ακόμη \left ( CAF \right )=2\left ( ZAF \right )\Rightarrow \left ( ZAF \right )=\dfrac{x+y}{2} ενώ \left ( BAF \right ) =2\left ( AFE \right )\Rightarrow x+\dfrac{x+y}{2}=2y\Rightarrow \boxed{x=y}

άρα τα E,Z είναι τα μέσα και F είναι το βαρύκεντρο . Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες