Σελίδα 1 από 1

Τριγωνική εργασία

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 31, 2019 11:04 am
από KARKAR
Τριγωνική  εργασία.png
Τριγωνική εργασία.png (12.1 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC με γνωστές πλευρές a,b,c τα ύψη BP,CQ τέμνονται

στο σημείο H . Φέραμε την διχοτόμο AD και την διχοτόμο HE , της \widehat{BHC} .

α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{BH}{BP} ... β) Δείξτε ότι : HE\parallel AD .

γ) Αν a=7 , b=8 , c=6 , υπολογίστε τις : AD , HE .

Re: Τριγωνική εργασία

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 31, 2019 6:46 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 31, 2019 11:04 am
Τριγωνική εργασία.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC με γνωστές πλευρές a,b,c τα ύψη BP,CQ τέμνονται

στο σημείο H . Φέραμε την διχοτόμο AD και την διχοτόμο HE , της \widehat{BHC} .

α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{BH}{BP} ... β) Δείξτε ότι : HE\parallel AD .

γ) Αν a=7 , b=8 , c=6 , υπολογίστε τις : AD , HE .
Φέρνω PT||AD και έστω R η ακτίνα του περίκυκλου του ABC.
Τριγωνική εργασία.png
Τριγωνική εργασία.png (13.77 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές
α) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
BH = 2R|\cos B|\\ 
\\ 
ac = 2R \cdot BP 
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{BH}}{{BP}} = \frac{{4{R^2}|\cos B|}}{{ac}}. Με νόμο συνημιτόνων, τον τύπο \displaystyle (ABC) = \frac{{abc}}{{4R}} και τον τύπο

του Ήρωνα για το εμβαδόν τριγώνου, παίρνω: \boxed{ \frac{{BH}}{{BP}} = \frac{{2{b^2}|{a^2} + {c^2} - {b^2}|}}{{(a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)(b + c - a)}}}

β) \displaystyle B\widehat HC = 180^\circ  - \widehat A, άρα όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες με \displaystyle 90^\circ  - \frac{{\widehat A}}{2}, απ' όπου \boxed{HE||AD}

γ) \displaystyle A{D^2} = bc - BE \cdot EC = 48 - \frac{{42}}{{14}} \cdot \frac{{56}}{{14}} = 36 \Leftrightarrow \boxed{AD=6} και από το α) \boxed{\frac{{BH}}{{BP}} = \frac{{128}}{{315}}}

\displaystyle {a^2} - {c^2} = P{C^2} - A{P^2} \Leftrightarrow 13 = P{C^2} - {(8 - PC)^2} \Leftrightarrow PC = \frac{{77}}{{16}}

\displaystyle \frac{{PC}}{{CA}} = \frac{{PT}}{{AD}} \Leftrightarrow PT = \frac{{231}}{{64}} και \displaystyle \frac{{HE}}{{PT}} = \frac{{BH}}{{BP}} = \frac{{128}}{{315}} \Leftrightarrow \boxed{HE = \frac{{22}}{{15}}}