Εγγράψιμο και διχοτόμος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11662
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εγγράψιμο και διχοτόμος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 30, 2019 10:41 am

Διπλή ισότητα  γωνιών.png
Διπλή ισότητα γωνιών.png (15.63 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές
Βρείτε τη σχέση των πλευρών b,c , ώστε το τετράπλευρο BSTC να είναι εγγράψιμο .

Αν η CS είναι η διχοτόμος της \hat{C} , υπολογίστε την γωνία \widehat{CST}=\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9440
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εγγράψιμο και διχοτόμος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 30, 2019 11:41 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 30, 2019 10:41 am
Διπλή ισότητα γωνιών.pngΒρείτε τη σχέση των πλευρών b,c , ώστε το τετράπλευρο BSTC να είναι εγγράψιμο .

Αν η CS είναι η διχοτόμος της \hat{C} , υπολογίστε την γωνία \widehat{CST}=\theta .
Εγγράψιμο και διχοτόμος.png
Εγγράψιμο και διχοτόμος.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
Τα τρίγωνα ATS, ABC είναι όμοια: \displaystyle \frac{{2c}}{{3b}} = \frac{b}{{3c}} \Leftrightarrow \boxed{b=c\sqrt 2}

\dfrac{b}{a} = \dfrac{{AS}}{{SB}} = 2 \Leftrightarrow \boxed{b = 2a} και \boxed{c=a\sqrt 2} Από τον τύπο της διχοτόμου έχω:

\displaystyle C{S^2} = ab - AS \cdot SB = 2{a^2} - \frac{{4{a^2}}}{9} \Leftrightarrow C{S^2} = \frac{{14{a^2}}}{9} και από την ομοιότητα των προηγούμενων τριγώνων,

\displaystyle \frac{{ST}}{a} = \frac{c}{3} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3} \Leftrightarrow S{T^2} = \frac{{2{a^2}}}{9} και αφού \displaystyle S{T^2} + C{S^2} = {\left( {\frac{{4a}}{3}} \right)^2} = T{C^2} \Rightarrow \boxed{C\widehat ST=90^\circ}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7256
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εγγράψιμο και διχοτόμος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 30, 2019 1:30 pm

Στο πρώτο κάτι παρεμφερές

Ας είναι M το μέσο του TC και K το κέντρο του κύκλου του εγγραψίμου τετραπλεύρου BCTS

Εγγράψιμο και διχοτόμος_a.png
Εγγράψιμο και διχοτόμος_a.png (14.92 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές
α) Επειδή AS \cdot AB = AT \cdot AC \Rightarrow {b^2} = 2{c^2}
Εγγράψιμο και διχοτόμος_b.png
Εγγράψιμο και διχοτόμος_b.png (18.51 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές
β) Επειδή \boxed{SM// = \frac{{2a}}{3}} τα τρίγωνα STB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MSC θα είναι ισοσκελή

Το K \equiv M και MC = SM \Rightarrow \dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{b}{3} \Rightarrow \boxed{b = 2a} συνεπώς το τρίγωνο ABC έχει :

BC = a\,\,,\,\,\,AC = 2a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = a\sqrt 2 κατασκευάζεται και μετά

Αφού το τετράπλευρο KTSB είναι χαρταετός θα είναι \widehat {TBC} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {TSC} = 90^\circ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες