Νέο ισόπλευρο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1289
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Νέο ισόπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Δεκ 29, 2019 2:36 pm

Καλό απόγευμα.
Νέο ισόπλευρο.PNG
Νέο ισόπλευρο.PNG (12.7 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές
Το τρίγωνο ABC του σχήματος είναι ισόπλευρο ενώ και AD=AB.

Το E ανήκει στον περίκυκλο του ABC ώστε EC \perp CD. Η BE τέμνει την διχοτόμο της B\widehat{A}D στο H.

Να εξεταστεί αν και το \triangle BHD είναι ισόπλευρο.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1627
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Νέο ισόπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Δεκ 29, 2019 3:26 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:36 pm
Καλό απόγευμα.
Νέο ισόπλευρο.PNG
Το τρίγωνο ABC του σχήματος είναι ισόπλευρο ενώ και AD=AB.

Το E ανήκει στον περίκυκλο του ABC ώστε EC \perp CD. Η BE τέμνει την διχοτόμο της B\widehat{A}D στο H.

Να εξεταστεί αν και το \triangle BHD είναι ισόπλευρο.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Καλησπέρα Γιώργο και Χρόνια Πολλά! :santalogo:

Είναι, AB=AD=AC, οπότε το A είναι περίκεντρο του \vartriangle BDC. Συνεπώς, \angle DAC=2\angle CBD.

Επίσης, το \vartriangle DAC είναι ισοσκελές με AD=AC, άρα \angle ACD=90^\circ-\dfrac{\angle DAC}{2}=90^\circ-\angle CBD.

Οπότε, προκύπτει \angle CBD=90^\circ-\angle ACD=\angle ECA=\angle EBA \Rightarrow \angle CBD=\angle EBA.

Συνεπώς, \angle HBD=\angle HBC+\angle CBD=\angle EBC+\angle ABE=\angle ABC=60^\circ.

Όμως, αφού στο ισοσκελές \vartriangle ABD η AH είναι διχοτόμος, είναι και μεσοκάθετος της BD.

Επομένως, HB=HD που σε συνδυασμό με το ότι \angle HBD=60^\circ, δίνει ότι το \vartriangle HBD είναι ισόπλευρο.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1627
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Νέο ισόπλευρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Δεκ 29, 2019 3:42 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 2:36 pm
Καλό απόγευμα.
Νέο ισόπλευρο.PNG
Το τρίγωνο ABC του σχήματος είναι ισόπλευρο ενώ και AD=AB.

Το E ανήκει στον περίκυκλο του ABC ώστε EC \perp CD. Η BE τέμνει την διχοτόμο της B\widehat{A}D στο H.

Να εξεταστεί αν και το \triangle BHD είναι ισόπλευρο.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Μία ελάχιστα διαφορετική λύση ... :)

Έστω, \angle ABE=\phi.

Όπως στην προηγούμενη λύση, το A είναι περίκεντρο του \vartriangle BDC, άρα \angle BCD=\angle BAD/2=\theta.

Οπότε, \phi+\theta=90^\circ-\angle ACB=30^\circ.

Έστω τώρα K \equiv AD \cap (A,B,C).

Έχω, \angle DKB=\angle ACB=\angle ABC=\angle AKC, άρα KD διχοτόμος της \angle BKC και επίσης \angle BCD=\theta=\angle BAK/2=\angle BCK/2, οπότε η CD διχοτομεί την \angle BCK.

Άρα το D είναι έκκεντρο του \vartriangle BCK.

Οπότε, \angle BDK=90^\circ+\angle BCK/2=90^\circ+\theta.

Τελικά, έχουμε \angle HDA=\angle HBA=\phi, άρα \angle HDB=180^\circ-\angle HDA-\angle BDK=180^\circ-90^\circ-\phi-\theta=60^\circ, και αφού HB=HD, προκύπτει το ζητούμενο!


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 138
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Νέο ισόπλευρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Κυρ Δεκ 29, 2019 3:45 pm

Γεια σας και καλές γιορτές!
Είναι \widehat{ADH}=\widehat{ABH}=\widehat{ACE}. Τώρα είναι \widehat{HDC}=\widehat{HDA}+\widehat{ADC}=\widehat{ACE}+\widehat{ACB}=90^{\circ}\Rightarrow EC\parallel HD\Rightarrow \widehat{BHD}=\widehat{BEC}=\widehat{BAC}=60^{\circ}
οπότε το τρίγωνο BHD είναι ισόπλευρο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης