Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 664
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Δεκ 28, 2019 5:20 pm

194.PNG
194.PNG (28.24 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
Έστω w_1,w_2 δύο σταθεροί κύκλοι και P τυχαίο σημείο του επιπέδου.Έστω ότι η πολική ευθεία e_1 του P ως προς τον κύκλο w_1 τέμνει την πολική ευθεία e_2 του P ως προς τον κύκλο w_2 στο  Q .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου M του τμήματος PQ καθώς το P κινείται στο επίπεδο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Σάβ Δεκ 28, 2019 5:28 pm

Καλησπέρα Πρόδρομε.
Δεν είναι δύσκολο να δούμε οτι η εκ του M παράλληλη στην e1 είναι ο ριζικός άξονας του P (εκφυλισμένος κύκλος) και του πράσινου κύκλου,ενώ η εκ του M παράλληλη στην e2 είναι ο ριζικός άξονας του P και του κόκκινου κύκλου.
Συνεπώς,πάντοτε το M ανήκει στον ριζικό άξονα των 2 κύκλων κλπ.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Δεκ 28, 2019 6:13 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 28, 2019 5:20 pm
194.PNG

Έστω w_1,w_2 δύο σταθεροί κύκλοι και P τυχαίο σημείο του επιπέδου.Έστω ότι η πολική ευθεία e_1 του P ως προς τον κύκλο w_1 τέμνει την πολική ευθεία e_2 του P ως προς τον κύκλο w_2 στο  Q .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου M του τμήματος PQ καθώς το P κινείται στο επίπεδο.
Γεωμετρικός τόπος Φωτιάδη_ok_σχήμα.png
Γεωμετρικός τόπος Φωτιάδη_ok_σχήμα.png (43.7 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές

Επειδή P{K_1} \bot Q{M_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,P{K_2} \bot Q{M_2}\, το τετράπλευρο Q{M_1}P{M_2} είναι εγγράψιμο σε κύκλο κέντρου K \equiv M

Οι κοινές χορδές του κύκλου αυτού με τους δύο κύκλους τέμνουν του κύκλους σε δύο σημεία τον καθένα .

Έστω T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S τα δύο απ αυτά ( ένα σε κάθε κύκλο )

Τα KT,KS είναι ίσα εφαπτόμενα τμήματα σ αυτούς και άρα το K ανήκει στο ριζικό άξονα των δύο δεδομένων κύκλων .


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 664
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Δεκ 29, 2019 1:26 pm

Ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις, μία ακόμη στο σχήμα του κ.Νίκου :
Έστω r,R οι ακτίνες των κύκλων (r του πράσινου) και E_1,E_2 δύο σημεία τομής των πολικών με τους αντίστοιχους κύκλους(ένα στον καθένα).Θα δείξω ότι ανήκει στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων.
Αρκεί K_1M^2-r^2=K_2M^2-R^2 \Leftrightarrow \dfrac{2\left ( K_1P^2+K_1Q^2 \right )- PQ^2}{4} -r^2=\dfrac{2\left ( K_2P^2+K_2Q^2 \right )- PQ^2}{4} -..-R^2\Leftrightarrow K_1P^2+K_1Q^2-2r^2=K_2P^2+K_2Q^2-2R^2 (χρησιμοποίησα το πρώτο θεώρημα διαμέσου).

Από συνθήκη καθετότητας είναι K_1Q^2=PQ^2+K_1E^2-PE^2 άρα K_1P^2+K_1Q^2-2r^2=r^2+PE^2+PQ^2-PE^2+r^2-2r^2=PQ^2 όμοια K_2P^2+K_2Q^2-2R^2=PQ^2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες