Για κάποιο λόγο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9793
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Για κάποιο λόγο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 10, 2019 6:45 pm

Για  κάποιο λόγο.png
Για κάποιο λόγο.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές
Έστω O το περίκεντρο τριγώνου ABC με AB=5, AC=6, BC=9. Η μεσοκάθετος του AC τέμνει

τη διχοτόμο της B\widehat AC στο K και τον περίκυκλο του τριγώνου στο L. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{OK}{KL}.



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1937
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Για κάποιο λόγο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Δεκ 10, 2019 11:42 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Δεκ 10, 2019 6:45 pm
Για κάποιο λόγο.png
Έστω O το περίκεντρο τριγώνου ABC με AB=5, AC=6, BC=9. Η μεσοκάθετος του AC τέμνει

τη διχοτόμο της B\widehat AC στο K και τον περίκυκλο του τριγώνου στο L. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{OK}{KL}.
Εστω LK=x, \dfrac{OK}{KL}=\dfrac{R}{x}-1,(*),


Απο το τύπο του Ηρωνα είναι (ABC)=10\sqrt{2},R=\dfrac{27\sqrt{2}}{8},,


AK.KN=LK.KT=R^{2}-(R-x)^{2},(**),

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και το τύπο για τη διχοτόμο

BS=\dfrac{45}{8},SC=\dfrac{27}{8},AS=\dfrac{20\sqrt{3}}{11},

AS.SN=BS.SC\Leftrightarrow SN=\dfrac{BS.SC}{AS},AN=AS+SN=\dfrac{11\sqrt{3}}{2}, 

             (**)\Rightarrow AK.(AN-NK)=2Rx-x^{2},AK^{2}=9+M   K^{2}=x^{2}-12\sqrt{2}x+81, 

                   AK(\dfrac{11\sqrt{3}}{2}-KA)=-x^{2}+2Rx\Rightarrow x=3\sqrt{2},


Οπότε \dfrac{OK}{KL}=\dfrac{27\sqrt{2}}{24\sqrt{2}}-1=\dfrac{1}{8}
Συνημμένα
Για κάποιο λόγο ,σχήμα 2.png
Για κάποιο λόγο ,σχήμα 2.png (112.33 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές
Για κάποιο λόγο.png
Για κάποιο λόγο.png (64.43 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές
τελευταία επεξεργασία από STOPJOHN σε Πέμ Δεκ 12, 2019 3:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7538
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Για κάποιο λόγο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 11, 2019 1:05 am

Από το Θ. συνημίτονου στο \vartriangle ABC έχω : \boxed{\cos 2\theta  =  - \frac{1}{3}} .

Αλλά \cos 2\theta  = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} \Rightarrow \boxed{\tan \theta  = \sqrt 2 }, οπότε KM = 3\sqrt 2 \,\,\,(1)

Από τον τύπο του Ηρωνα και αφού
Για κάποιο λόγο.png
Για κάποιο λόγο.png (20.52 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές
R = \dfrac{{abc}}{{4E}} \Rightarrow R = \dfrac{{27\sqrt 2 }}{8} \Rightarrow OM = \sqrt {{R^2} - 9}  = \dfrac{{21\sqrt 2 }}{8}\,\,\,(2)

Άρα OK = KM - OM\mathop  = \limits_{(2)}^{(1)} \dfrac{{3\sqrt 2 }}{8} συνεπώς \dfrac{{OK}}{R} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow \dfrac{{OK}}{{R - OK}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{OK}}{{KL}} = \frac{1}{8}}

Παρατήρηση .

Το τετράπλευρο ABLC είναι ισοσκελές τραπέζιο με διαγώνιους BC = AL = 9.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1908
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Για κάποιο λόγο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Δεκ 11, 2019 11:52 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Δεκ 10, 2019 6:45 pm
Για κάποιο λόγο.png
Έστω O το περίκεντρο τριγώνου ABC με AB=5, AC=6, BC=9. Η μεσοκάθετος του AC τέμνει

τη διχοτόμο της B\widehat AC στο K και τον περίκυκλο του τριγώνου στο L. Να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{OK}{KL}.

Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ,άρα OKPC εγγράψιμο .Λόγω και του εγγράψιμου NOCM και οι μπλε

γωνίες είναι ίσες και \triangle ABC  \simeq  \triangle CKP

Έτσι , \dfrac{KC}{6} = \dfrac{KP}{5}= \dfrac{PC}{9} \Rightarrow KP= \dfrac{5}{6}KC   , PC= \dfrac{9}{6}KC  και με Πτολεμαίο στο OKPC είναι

OK . PC+R . KP=R . KC \Rightarrow OK .  \dfrac{9}{6}KC+R .  \dfrac{5}{6}KC=RKC \Rightarrow OK= \dfrac{R}{9}  \Rightarrow  \dfrac{OK}{KL} = \dfrac{1}{8}
Για κάποιο λόγο.png
Για κάποιο λόγο.png (37.95 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης