Σελίδα 1 από 1

Υψηλόβαθμη

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 09, 2019 9:08 pm
από KARKAR
Υψηλόβαθμη.png
Υψηλόβαθμη.png (10.3 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές
Το S είναι σημείο του εγκύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου ABC , πλευράς 4 .

Υπολογίστε το άθροισμα των τετραγώνων : SA^2+SB^2+SC^2 .

Re: Υψηλόβαθμη

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 09, 2019 9:21 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 09, 2019 9:08 pm
Υψηλόβαθμη.pngΤο S είναι σημείο του εγκύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου ABC , πλευράς 4 .

Υπολογίστε το άθροισμα των τετραγώνων : SA^2+SB^2+SC^2 .
Καλησπέρα!

s\cdot r=\left ( ABC \right )=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow r=\dfrac{16\sqrt{3}}{6\cdot 4}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} (s,r η ημιπερίμετρος και η ακτίνα του έγκυκλου αντίστοιχα)

Επειδή το έκκεντρο(έστω I) θα είναι και βαρύκεντρο από το θεώρημα Leibniz είναι SA^2+SB^2+SC^2=3SI^2+\dfrac{3a^2}{3}=3r^2+16=4+16=20

Re: Υψηλόβαθμη

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 10, 2019 1:07 pm
από george visvikis
Αφού :clap2: τον ασυγκράτητο :lol: Πρόδρομο, να θέσω ένα επιπλέον ερώτημα:
Υψηλόβαθμη.png
Υψηλόβαθμη.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
Να υπολογίσετε το άθροισμα SD^2+SE^2+SF^2.

Re: Υψηλόβαθμη

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 10, 2019 1:47 pm
από KARKAR
2SF^2+\dfrac{AB^2}{2}=SA^2+SB^2 . Ομοίως για τα SD^2 , SE^2 .

Με πρόσθεση κατά μέλη και αξιοποίηση του αρχικού ερωτήματος

βρίσκουμε : SF^2+SD^2+SE^2=8 .

Re: Υψηλόβαθμη

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 10, 2019 1:59 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 10, 2019 1:47 pm
2SF^2+\dfrac{AB^2}{2}=SA^2+SB^2 . Ομοίως για τα SD^2 , SE^2 .

Με πρόσθεση κατά μέλη και αξιοποίηση του αρχικού ερωτήματος

βρίσκουμε : SF^2+SD^2+SE^2=8 .
Πέσαμε σε φαύλο κύκλο, γιατί εγώ σκόπευα να χρησιμοποιήσω αυτή για να αποδείξω το αρχικό ερώτημα :lol:
(Κάπου τις έχουμε ξαναδεί αυτές στο :logo: αλλά δεν μπορώ να τις βρω).

Re: Υψηλόβαθμη

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 10, 2019 3:17 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
george visvikis έγραψε:
Τρί Δεκ 10, 2019 1:07 pm

Να υπολογίσετε το άθροισμα SD^2+SE^2+SF^2.
Καλησπέρα!

Γενικά ισχύει ότι :
Αν ABC ισόπλευρο πλευράς a και S σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τότε για κάθε S το άθροισμα SA^2+SB^2+SC^2 είναι σταθερό και ίσο με 2a^2.
Η απόδειξη γίνεται εύκολα με Leibniz: SA^2+SB^2+SC^2=3R^2+\dfrac{1}{3}\left ( 3a^2 \right )=a^2+a^2=2a ^2
Το DEF έχει a=2 άρα SA^2+SB^2+SC^2=8.

Επιπλέον δείξτε ότι αν S τυχαίο σημείο του μικρού τόξου BC (του περίκυκλου) ισοπλεύρου ABC πλευράς a, τότε SA^2=a^2+SB\cdot SE.

Re: Υψηλόβαθμη

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 10, 2019 5:10 pm
από george visvikis
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τρί Δεκ 10, 2019 3:17 pm

Επιπλέον δείξτε ότι αν S τυχαίο σημείο του μικρού τόξου BC (του περίκυκλου) ισοπλεύρου ABC πλευράς a, τότε SA^2=a^2+SB\cdot SE.
Γεια σου Πρόδρομε!

Είναι, SA=SB+SC και από ν. συνημιτόνου στο SBC:

\displaystyle {a^2} = S{B^2} + S{C^2} + SB \cdot SC = {(SB + SC)^2} - SB \cdot SC \Leftrightarrow \boxed{SA^2=a^2+SB\cdot SE}


Στο αρχικό τώρα, πρόβλημα, με τους τύπους των διαμέσων στα SAB, SBC, SAC:
Υψηλόβαθμη.ΙΙ.png
Υψηλόβαθμη.ΙΙ.png (13.61 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές
\displaystyle S{D^2} + S{E^2} + S{F^2} = \frac{{4(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}) - 3{a^2}}}{4} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{4(S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}) - 3{a^2}}}{4},

απ' όπου \boxed{SA^2+SB^2+SC^2=\dfrac{5a^2}{4}} και στο παράδειγμά μας, SA^2+SB^2+SC^2=20