Ίσα κατά ζεύγη

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9436
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσα κατά ζεύγη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 08, 2019 2:04 pm

Ίσα κατά ζεύγη.png
Ίσα κατά ζεύγη.png (17.95 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές
AD είναι η διχοτόμος τριγώνου ABC. Ένας κύκλος (\omega) διέρχεται από το D και εφάπτεται της AB στο A. Στην

ευθεία AC θεωρώ σημείο E ώστε BA=BE. Αν η DE επανατέμνει τον (\omega) στο F, να δείξετε ότι CA=CF.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 770
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ίσα κατά ζεύγη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Δεκ 08, 2019 8:28 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Δεκ 08, 2019 2:04 pm
Ίσα κατά ζεύγη.png
AD είναι η διχοτόμος τριγώνου ABC. Ένας κύκλος (\omega) διέρχεται από το D και εφάπτεται της AB στο A. Στην

ευθεία AC θεωρώ σημείο E ώστε BA=BE. Αν η DE επανατέμνει τον (\omega) στο F, να δείξετε ότι CA=CF.
Καλησπέρα!
Έστω ότι η BC τέμνει τον \omega στο Q.Έχουμε BD\cdot BQ=BA^2=BE^2 άρα τα τρίγωνα BDE,BEF είναι όμοια και \angle BED=\angle EQC.Είναι \angle AQD=\angle AFD=\dfrac{\angle A}{2} άρα \Delta ADE\sim \Delta ADF,\Delta ADC\sim ADQ,από τα παραπάνω έχουμε DC\cdot DQ=DA^2=DE\cdot DF άρα το FECQ είναι εγγράψιμο.
Είναι
\angle CAF=\angle CAQ+\angle QAF=\angle DAQ-\dfrac{\angle A}{2}+\angle QDF=\angle C-\dfrac{\angle A}{2}+\angle BED+\angle AEB-\angle C=..=\dfrac{\angle A}{2}+\angle EQD=\dfrac{\angle A}{2}+\angle DFC=\angle AFC
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

182.PNG
182.PNG (44.46 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1623
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ίσα κατά ζεύγη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Δεκ 08, 2019 11:34 pm

Μία - άσχημη :) - τριγωνομετρική ...

Έστω, \angle BED=k, \angle EFC=\ell.

Είναι, \angle BEA=\angle BAE=\angle A \Rightarrow \angle AED=\angle A+k.

Όμως, η BA εφάπτεται του κύκλου (D,A,F), οπότε \angle AFD=\angle A/2.

Άρα, \angle FAC=\angle AED-\angle AFE=\angle A/2+k, και \angle AFC=\angle A/2+\ell.

Από Ν. Ημιτόνων στα \vartriangle BED, \vartriangle DFC, έχω :

\bullet \dfrac{BE}{BD}=\dfrac{\sin \angle EDB}{\sin k} (1),

\bullet \dfrac{CD}{CF}=\dfrac{\sin \ell}{\sin \angle FDC}(2).

Όμως, είναι \sin \angle EDB=\sin \angle FDC, άρα πολλαπλασιάζοντας τις (1), (2) έχω \dfrac{BE \cdot CD}{BD \cdot CF}=\dfrac{\sin \ell}{\sin k}.

Ακόμη, είναι \dfrac{BE \cdot CD}{BD \cdot CF}=\dfrac{AB \cdot CD}{BD \cdot CF}=\dfrac{CA}{CF}=\dfrac{\sin(\angle A/2+\ell)}{\sin(\angle A/2+k)} (χρησιμοποιήθηκε το Θ. Διχοτόμων).

Άρα, \dfrac{\sin(\angle A/2+\ell)}{\sin(\angle A/2+k)}=\dfrac{\sin \ell}{\sin k}, που γράφεται χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες, \cos(\angle A/2+\ell-k)=\cos(\angle A/2+k-\ell).

Από την παραπάνω, έπεται ότι \angle A/2+\ell-k=2m\pi \pm (\angle A/2+k-\ell), που δίνει τελικά ότι m=0 και \angle A/2+\ell-k=\angle A/2+k-\ell \Rightarrow k=\ell.

Άρα, έχω και ότι \angle AFC=\angle FAC \Rightarrow CA=CF, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε!


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7256
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα κατά ζεύγη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 09, 2019 4:06 am

Αφού δώσω τα εύσημα στους νεαρούς Πρόδρομο και Ορέστη .

Αντιστρέφω τον κύκλο με πόλο το D και δύναμη αντιστροφής A{D^2} = {d^2} και μετασχηματίζεται στην ευθεία AE \to \varepsilon .

Η ευθεία αυτή τέμνει τον δεδομένο κύκλο στο H και ο κύκλος αντιστροφής \left( {D,d} \right) θα έχει κοινή χορδή με τον αρχικό κύκλο την AH.

Προφανώς λόγω των γωνιών υπό χορδής κι εφαπτομένης θα είναι :

\widehat {BAD} = \widehat {DAH} = \widehat {AFD} = \widehat {DHA} = \widehat {{\omega _{}}}

Επειδή \left\{ \begin{gathered} 
  {d^2} = DC \cdot DT \hfill \\ 
  {d^2} = DE \cdot DF \hfill \\ 
  B{E^2} = A{B^2} = BD \cdot BT \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
ισα κατά ζεύγη_oritzin.png
ισα κατά ζεύγη_oritzin.png (49.04 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
( η πρώτη λόγω αντιστροφής , η δεύτερη επειδή \widehat {DAE} = \widehat {AFE} και η τρίτη από τη δύναμη σημείου )

Θα έχω : ECTF εγγράψιμο και άρα \widehat {EFC} = \widehat {ETC} = \widehat \theta και \widehat {BED} = \widehat {EDT} = \widehat \theta

Από το τρίγωνο EHD λόγω της εξωτερικής γωνίας στο E θα είναι :

2\widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{y_{}}} + \widehat {{\omega _{}}} \Rightarrow \widehat {{y_{}}} = \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{x_{}}} = \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{\theta _{}}}} και άρα : \boxed{CA = CF}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες