Μη κυρτό πεντάγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1260
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Μη κυρτό πεντάγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Δεκ 07, 2019 11:50 pm

Καλή Κυριακή σε όλους.
Μη κυρτό πεντάγωνο.PNG
Μη κυρτό πεντάγωνο.PNG (8.4 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι \widehat{A}=90^{0} και AB>AC. Η διχοτόμος της B\widehat{A}C τέμνει την BC στο E και τον περίκυκλο του ABC στο M.
Έστω N το μέσον του EM. Φέρω PA \perp AM με PA=AN και ET \perp AM με T \in PN.

Θεωρούμε το μη κυρτό πεντάγωνο PACET. Αν είναι \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( PACET \right )}=3-\sqrt{3} τότε:

Ι) Να βρεθούν οι οξείες γωνίες του \triangle ABC και ΙΙ) Να εξεταστεί αν τα σημεία A,C,T είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9357
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μη κυρτό πεντάγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 08, 2019 12:58 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Δεκ 07, 2019 11:50 pm
Καλή Κυριακή σε όλους.
Μη κυρτό πεντάγωνο.PNG
Στο τρίγωνο ABC είναι \widehat{A}=90^{0} και AB>AC. Η διχοτόμος της B\widehat{A}C τέμνει την BC στο E και τον περίκυκλο του ABC στο M.
Έστω N το μέσον του EM. Φέρω PA \perp AM με PA=AN και ET \perp AM με T \in PN.

Θεωρούμε το μη κυρτό πεντάγωνο PACET. Αν είναι \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( PACET \right )}=3-\sqrt{3} τότε:

Ι) Να βρεθούν οι οξείες γωνίες του \triangle ABC και ΙΙ) Να εξεταστεί αν τα σημεία A,C,T είναι συνευθειακά.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων, Γιώργος.
Καλό μεσημέρι!

Έστω ET=EN=NM=x. Από τον τύπο διχοτόμου \displaystyle A{E^2} = bc\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{{a^2} = {b^2} + {c^2}}

\boxed{AE = \frac{{bc\sqrt 2 }}{{b + c}}} Επίσης, \displaystyle AE \cdot 2x = CE \cdot EB = \frac{{{a^2}bc}}{{{{(b + c)}^2}}} \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{({b^2} + {c^2})\sqrt 2 }}{{4(b + c)}}}
Μη κυρτό πεντάγωνο.png
Μη κυρτό πεντάγωνο.png (23.01 KiB) Προβλήθηκε 71 φορές
I) \displaystyle \frac{{(CAE)}}{{(ABC)}} = \frac{b}{{b + c}}. Αλλά, \displaystyle (APTE) = \frac{{AE + 2x}}{2} \cdot AE = ... = \frac{{bc}}{2} = (ABC)

\displaystyle (PACET) = (APTE) - (CAE) = (ABC)\frac{c}{{b + c}} \Rightarrow \frac{{(ABC)}}{{(PACET)}} = \frac{b}{c} + 1 \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{b}{c} + 1 = 3 - \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan B = \frac{b}{c} = 2 - \sqrt 3  \Rightarrow \boxed{\widehat B=15^\circ, \widehat C=75^\circ}

II) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι AE=x, άρα τα σημεία A,C,T είναι συνευθειακά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης