Χορδή διχοτομεί ακτίνα

#1

Έστω

ένα σημείο κύκλου c_1

διαμέτρου

και έστω

το ίχνος της καθέτου από το

στην

Αν ο κύκλος c_2

με κέντρο το

και ακτίνα

τέμνει τον c_1

στα σημεία

και

, να δειχθεί ότι η

διχοτομεί το τμήμα

.

Πηγή: Kvant

Φιλικά,

Αχιλλέας

giannisd · #2

Ορίζω
$S=QH\cap MC, T=QH\cap c_1 \neq Q$ .
Θεωρώ αντιστροφή πόλου

δύναμης

.
Τότε $MC\mapsto c_1$ .
Άρα ισχύει
$\displaystyle{QH^2=QS\cdot QT=QS\cdot 2QH\implies QH=2QS \quad\blacksquare}$ .

Edit: Διορθώθηκε τυπογραφικό.

Ορέστης Λιγνός · #3

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2019 8:19 pm
Έστω ένα σημείο κύκλου διαμέτρου και έστω το ίχνος της καθέτου από το στην Αν ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα τέμνει τον στα σημεία και , να δειχθεί ότι η διχοτομεί το τμήμα .

Πηγή: Kvant

Φιλικά,

Αχιλλέας

Όμορφη Αχιλλέα!

Έστω, $X \equiv HQ \cap (c_2)$ και $Y \equiv QH \cap (c_1)$ .

Είναι από μετρικές σχέσεις, $QH^2=AH \cdot HB=HY^2 \Rightarrow QH=HY$ , και προφανώς QH=QX

ως ακτίνες του κύκλου (c_2)

.

Έστω, $Z \equiv QH \cap MC$ , και QZ=a,ZH=b

. Άρα,

Τότε, $QZ \cdot ZY=MZ \cdot ZC=XZ \cdot ZH \Rightarrow a(a+2b)=b(b+2a) \Rightarrow a=b \Rightarrow QZ=ZH$ , και τελειώσαμε.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2019 8:19 pm
Έστω ένα σημείο κύκλου διαμέτρου και έστω το ίχνος της καθέτου από το στην Αν ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα τέμνει τον στα σημεία και , να δειχθεί ότι η διχοτομεί το τμήμα .

Πηγή: Kvant

Φιλικά,

Αχιλλέας

: 181.PNG (28.67 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Καλησπέρα σε όλους!

Έστω $F\equiv MC\cap OH,N\equiv MC\cap AB$ και

το συμμετρικό του

ως προς το

. $NH^2=NC\cdot NM=NB\cdot NA$ άρα από το θεώρημα Newton

είναι $\left ( A,H,B,N \right )=-1$ και έτσι από λήμμα η

εφάπτεται του ημικυκλίου.Αν

μέσο του

τότε $OQ\perp MC,OQ\perp QK\Rightarrow MC\parallel QK\Rightarrow FQ=FH$

KARKAR · #5

Ένα από τα δημοφιλή θέματα : Βλέπε εδώ κι εκεί

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2019 8:19 pm
Έστω ένα σημείο κύκλου διαμέτρου και έστω το ίχνος της καθέτου από το στην Αν ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα τέμνει τον στα σημεία και , να δειχθεί ότι η διχοτομεί το τμήμα .

Πηγή: Kvant

Φιλικά,

Αχιλλέας

Με

συμμετρικό του

ως προς

,ο κύκλος

περνά από το

και είναι ίσος με τον κύκλο (Q,QH)

Το ριζικό κέντρο

των τριών τεμνομένων ανά δυο κύκλων είναι μέσον της

,αφού

είναι ρόμβος

: χορδή διχοτομεί ακτίνα.png (30.99 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές

#7

Στο σχήμα

: χορδή που διχοτομεί_a.png (32.18 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ ( χορδής κι εφαπτομένης), $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ ( εγγεγραμμένες σε ίδιο τόξο) και $\widehat {{a_1}} + \widehat {{a_4}} = 90^\circ$ .

Άρα $DF \bot HT$ .

Αλλά $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}$ συνεπώς η

είναι τελικά μεσοκάθετος στο

Από Θ. πεταλούδας HF = HS

με άμεση συνέπεια : $\boxed{TF = FH = HS = SQ}$

Χορδή διχοτομεί ακτίνα

Χορδή διχοτομεί ακτίνα

Re: Χορδή διχοτομεί ακτίνα

Re: Χορδή διχοτομεί ακτίνα

Re: Χορδή διχοτομεί ακτίνα

Re: Χορδή διχοτομεί ακτίνα

Re: Χορδή διχοτομεί ακτίνα

Re: Χορδή διχοτομεί ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση