Εμβαδόν τριγώνου

#1

: Εμβαδόν τριγώνου 120.png (10.62 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

Στο παραπάνω σχήμα να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ABC

αν

είναι το έγκεντρο.

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 07, 2019 7:13 pm

Εμβαδόν τριγώνου 120.png
Στο παραπάνω σχήμα να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου αν είναι το έγκεντρο.

Καλησπέρα Γιώργο!

Έστω

Είναι γνωστό, ότι $BD=\dfrac{a+c-b}{2}, \, DC=\dfrac{a+b-c}{2}$ .

Οπότε, $a+c-b=8\sqrt{3}$ , και a+b-c=18

.

Άρα, είναι $(a+b-c)(a+c-b)=144\sqrt{3} \Rightarrow a^2-(b-c)^2=144\sqrt{3}$ .

Όμως, από Ν. Συνημιτόνων στο $\vartriangle ABC$ , έχω a^2=b^2+bc+c^2

(είναι, $\cos 120^\circ=-1/2$ ).

Άρα, $b^2+bc+c^2-(b-c)^2=144\sqrt{3} \Rightarrow bc=48\sqrt{3}$ .

Οπότε, $(ABC)=\dfrac{AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC}{2}=\dfrac{48 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{4}=36$ .

Άρα, (ABC)=36

.

#3

Σ' ευχαριστώ Ορέστη για τη λύση. Κάτι παρόμοιο:

: Εμβαδόν τριγώνου 120.β.png (16.06 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές

$\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}(x + 4\sqrt 3 )(x + 9)\sin 120^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {{x^2} + (9 + 4\sqrt 3 )x + 36\sqrt 3 } \right)}$ (1)

Ν. συνημιτόνων: $\displaystyle {(9 + 4\sqrt 3 )^2} = {(x + 4\sqrt 3 )^2} + {(x + 9)^2} + (x + 4\sqrt 3 )(x + 9) \Leftrightarrow {x^2} + (9 + 4\sqrt 3 )x = 12\sqrt 3$

και αντικαθιστώντας στη (1),

$\displaystyle (ABC) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(12\sqrt 3 + 36\sqrt 3 ) \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC)=36}$

Εμβαδόν τριγώνου

Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση