Εμβαδόν τριγώνου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8970
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εμβαδόν τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 07, 2019 7:13 pm

Εμβαδόν τριγώνου 120.png
Εμβαδόν τριγώνου 120.png (10.62 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές
Στο παραπάνω σχήμα να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ABC αν I είναι το έγκεντρο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Δεκ 07, 2019 9:05 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Δεκ 07, 2019 7:13 pm
Εμβαδόν τριγώνου 120.png
Στο παραπάνω σχήμα να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ABC αν I είναι το έγκεντρο.
Καλησπέρα Γιώργο! :)

Έστω AB=c, AC=b, BC=a

Είναι γνωστό, ότι BD=\dfrac{a+c-b}{2}, \, DC=\dfrac{a+b-c}{2}.

Οπότε, a+c-b=8\sqrt{3}, και a+b-c=18.

Άρα, είναι (a+b-c)(a+c-b)=144\sqrt{3} \Rightarrow a^2-(b-c)^2=144\sqrt{3}.

Όμως, από Ν. Συνημιτόνων στο \vartriangle ABC, έχω a^2=b^2+bc+c^2 (είναι, \cos 120^\circ=-1/2).

Άρα, b^2+bc+c^2-(b-c)^2=144\sqrt{3} \Rightarrow bc=48\sqrt{3}.

Οπότε, (ABC)=\dfrac{AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC}{2}=\dfrac{48 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{4}=36.

Άρα, (ABC)=36.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8970
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 12, 2019 6:45 pm

Σ' ευχαριστώ Ορέστη για τη λύση. Κάτι παρόμοιο:
Εμβαδόν τριγώνου 120.β.png
Εμβαδόν τριγώνου 120.β.png (16.06 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές
\displaystyle (ABC) = \frac{1}{2}(x + 4\sqrt 3 )(x + 9)\sin 120^\circ  \Leftrightarrow \boxed{(ABC) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {{x^2} + (9 + 4\sqrt 3 )x + 36\sqrt 3 } \right)} (1)

Ν. συνημιτόνων: \displaystyle {(9 + 4\sqrt 3 )^2} = {(x + 4\sqrt 3 )^2} + {(x + 9)^2} + (x + 4\sqrt 3 )(x + 9) \Leftrightarrow {x^2} + (9 + 4\sqrt 3 )x = 12\sqrt 3

και αντικαθιστώντας στη (1), \displaystyle (ABC) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}(12\sqrt 3  + 36\sqrt 3 ) \Leftrightarrow \boxed{(ABC)=36}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες