Κύκλος σε τετράγωνο

#1

: Κύκλος σε τετράγωνο.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές

Σε τετράγωνο ABCD

πλευράς

γράφουμε εντός αυτού το ημικύκλιο διαμέτρου

και το τόξο $\overset\frown{AC}$ του κύκλου (D, a).

α) Να κατασκευάσετε κύκλο (K)

που να εφάπτεται του ημικυκλίου, της πλευράς

και του τόξου $\overset\frown{AC}.$

β) Αν a=25

να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου (K).

KARKAR · #2

: Ακτίνα Βισβίκη.png (14.72 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

α) Το ημικύκλιο διαμέτρου $AT=\dfrac{4a}{5}$ , τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο

.

Η

και η κάθετη στο

, τέμνονται στο

... β)

Εξήγηση της κατασκευής :

Στο ορθογώνιο τραπέζιο ADKT

, επειδή

,

είναι $\widehat{AST}=90^0$ ( άσκηση και του σχολικού ) . Επίσης είναι : $r=\dfrac{4a}{25}$ ( βλέπε παρακάτω ) ,

δηλαδή : $AT^2=4ar = \dfrac{16a^2}{25}$ και τελικά : $AT=\dfrac{4a}{5}$ , εξ' ου και το κόκκινο ημικύκλιο .

KARKAR · #3

: Ακτίνα σε τετράγωνο.png (21.3 KiB) Προβλήθηκε 410 φορές

Οι υπολογισμοί : AT^2=QK^2=(a+r)^2-(a-r)^2=4ar

.

$MT=\sqrt{(\dfrac{a}{2}-r)^2-r^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4}-ar}$ . Οπότε : $AT=AM+MT=\dfrac{a}{2}+\sqrt{\dfrac{a^2}{4}-ar}$

Τετραγωνίζοντας και απλοποιώντας καταλήγουμε στην εξίσωση : $\sqrt{\dfrac{a^2}{4}-ar}=5r-\dfrac{a}{2}$ ,

η οποία δίνει : $r=\dfrac{4a}{25}$ . Το

είναι η τομή των κύκλων : (D , a+r)

και : $(M, \dfrac{a}{2}-r)$ .

#4

Μια υπολογιστική κατασκευή

Θεωρώ λυμένο το πρόβλημα κι έστω

το σημείο επαφής του κύκλου (K,r)

με την

.
Φέρνω την εφαπτομένη ,

, του κύκλου (K,r)

που είναι κάθετη στην

.

Αυτή τέμνει την

στο

(

εκατέρωθεν του

) και το ημικύκλιο στο

.

Είναι ως γνωστό : $\boxed{AP = AE}$ και το $\boxed{AE = 2\sqrt {ar} }$

( Κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα των κύκλων $(A,a)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(K,r)$ )

Θέτω $AP = x\,\,,AH = y$ και θα ισχύει :

: κύκλος σε τετράγωνο_4.png (27.1 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές

$A{P^2} = AH \cdot AB \Rightarrow {x^2} = ay \Rightarrow {\left( {2\sqrt {ar} } \right)^2} = \left( {2\sqrt {ar} - r} \right)a$ .

Με απλές πράξεις έχω : $\boxed{r = \frac{{4a}}{{25}}}$ . Οπότε : $\boxed{AE = \frac{{4a}}{5}}$ και η κατασκευή απλή .

Προφανώς αν $\boxed{a = 25 \Rightarrow r = 4}$

Υπάρχει κατασκευή χωρίς κανένα υπολογισμό ( Εν ευθέτω χρόνο θα την αναρτήσω)

Κύκλος σε τετράγωνο

Κύκλος σε τετράγωνο

Re: Κύκλος σε τετράγωνο

Re: Κύκλος σε τετράγωνο

Re: Κύκλος σε τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση