Υπερδιπλάσιο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11124
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Υπερδιπλάσιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 04, 2019 2:24 pm

Υπερδιπλάσιο.png
Υπερδιπλάσιο.png (73.27 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Στο εξωτερικό σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , σχεδιάσαμε τρία ημικύκλια με διαμέτρους

τις πλευρές του , των οποίων τα μέσα ονομάσαμε M,N,L . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου

MNL είναι υπερδιπλάσιο εκείνου του \displaystyle ABC .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8676
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπερδιπλάσιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 04, 2019 4:30 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 04, 2019 2:24 pm
Υπερδιπλάσιο.pngΣτο εξωτερικό σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , σχεδιάσαμε τρία ημικύκλια με διαμέτρους

τις πλευρές του , των οποίων τα μέσα ονομάσαμε M,N,L . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου

MNL είναι υπερδιπλάσιο εκείνου του \displaystyle ABC .
Είναι, \displaystyle AL = \frac{{b\sqrt 2 }}{2},AM = MB = \frac{{c\sqrt 2 }}{2},BN = NC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.
Υπερδιπλάσιο.png
Υπερδιπλάσιο.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές
Θεώρημα Πτολεμαίου στο ABNC: \displaystyle b\frac{{a\sqrt 2 }}{2} + c\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = a \cdot NA \Leftrightarrow NA = \frac{{(b + c)\sqrt 2 }}{2}=ML

\displaystyle (MNL) = \frac{1}{2}ML \cdot NA = \frac{{N{A^2}}}{2} = \frac{{{{(b + c)}^2}}}{4} > bc \Rightarrow \boxed{(MNL)> 2(ABC)} (*)


(*) Η ανισότητα είναι γνήσια επειδή το τρίγωνο είναι σκαληνό (b\ne c).


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1724
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Υπερδιπλάσιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Δεκ 04, 2019 5:38 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 04, 2019 2:24 pm
Υπερδιπλάσιο.pngΣτο εξωτερικό σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC , σχεδιάσαμε τρία ημικύκλια με διαμέτρους

τις πλευρές του , των οποίων τα μέσα ονομάσαμε M,N,L . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου

MNL είναι υπερδιπλάσιο εκείνου του \displaystyle ABC .

Είναι \angle NAC=45^0 \Rightarrow NA \bot LM \Rightarrow NA//CL//BM \Rightarrow  \big(NLA\big)=(ACN) ,(NAM)=(NAB)

Έτσι, (MNL)=(ABC)+(NBC) άρα θα αποδείξουμε ισοδύναμα ότι (NBC)>(ABC) \Rightarrow  \dfrac{a^2}{4}> \dfrac{bc}{2}   \Leftrightarrow b^2+c^2>2bc

αληθής αφού \triangle ABC σκαληνό
Υπερδιπλάσιο.png
Υπερδιπλάσιο.png (20.05 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1154
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Υπερδιπλάσιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Δεκ 06, 2019 2:43 pm

Καλό απόγευμα. Για το υπολογισμό του AN χωρίς Πτολεμαίο.
Υπερδιπλάσιο...PNG
Υπερδιπλάσιο...PNG (8.93 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές
Με AE=AC=b τα τρίγωνα AEN,ACN είναι ίσα οπότε NE=NC=NB

και \widehat{ANE}=\widehat{NEB}-45^{0}=\widehat{NBE}-45^{0}=\widehat{ABC}.

Συνεπώς το BEHN είναι εγγράψιμο και AH\cdot AN=AE\cdot AB=bc.

Η διχοτόμος AH=\dfrac{bc\sqrt{2}}{b+c} και έπεται AN=\dfrac{\left ( b+c \right )\sqrt{2}}{2}. Τα λοιπά όπως ο Γιώργος πριν. Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες