Νότιο τμήμα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Νότιο τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 03, 2019 10:28 pm

Νότιο  τμήμα.png
Νότιο τμήμα.png (16.59 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές
Τα ημικύκλια με διαμέτρους : AC=5 και BD=10 , τέμνονται στο σημείο T , του οποίου

το συμμετρικό ως προς την AD , ονομάζω S . Οι TB,TC τέμνουν τις SA , SD στα σημεία

L και N αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος LN .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 773
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Νότιο τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Δεκ 04, 2019 6:26 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 03, 2019 10:28 pm
Νότιο τμήμα.png Τα ημικύκλια με διαμέτρους : AC=5 και BD=10 , τέμνονται στο σημείο T , του οποίου

το συμμετρικό ως προς την AD , ονομάζω S . Οι TB,TC τέμνουν τις SA , SD στα σημεία

L και N αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος LN .
175.PNG
175.PNG (30.5 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές
Καλησπέρα!

Έστω BC\cap ST\equiv E.Στα ορθογώνια  ATC,BTD το TE είναι ύψος προς την υποτείνουσα άρα AE\cdot EC=TE^2=BE\cdot ED\Leftrightarrow \left ( 2+BE \right )\left ( 3-BE \right )=BE\left ( 10-BE \right )\Leftrightarrow BE=\dfrac{2}{3},και EC=3-BE=\dfrac{7}{3}
Θεώρημα Μενελάου στα \Delta AES,\Delta SED διατέμνουσων \overline{LBT},\overline{NCT} αντίστοιχα:
\left\{\begin{matrix} & \dfrac{LS}{AL}\cdot \dfrac{AB}{BE}\cdot \dfrac{TE}{TS}=1 \\& \\ & \dfrac{NS}{ND}\cdot \dfrac{CD}{CE}\cdot \dfrac{TE}{TS}=1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \dfrac{LS}{LA}=\dfrac{2}{3} &\\ \\ & \dfrac{NS}{ND}=\dfrac{2}{3}& \end{matrix}\right.

Άρα LN//AD με \dfrac{LN}{AD}=\dfrac{LS}{SA}=\dfrac{LS}{LS+\dfrac{3}{2}LS}=\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow LN=\dfrac{2}{5}\cdot 12\Leftrightarrow \boxed{LN=\dfrac{24}{5}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Νότιο τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 04, 2019 7:46 pm

Δεν μπορώ να μην χειροκροτήσω ! :clap:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7265
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Νότιο τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 04, 2019 10:29 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τετ Δεκ 04, 2019 6:26 pm
KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 03, 2019 10:28 pm
Νότιο τμήμα.png Τα ημικύκλια με διαμέτρους : AC=5 και BD=10 , τέμνονται στο σημείο T , του οποίου

το συμμετρικό ως προς την AD , ονομάζω S . Οι TB,TC τέμνουν τις SA , SD στα σημεία

L και N αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος LN .
175.PNG

Καλησπέρα!

Έστω BC\cap ST\equiv E.Στα ορθογώνια  ATC,BTD το TE είναι ύψος προς την υποτείνουσα άρα AE\cdot EC=TE^2=BE\cdot ED\Leftrightarrow \left ( 2+BE \right )\left ( 3-BE \right )=BE\left ( 10-BE \right )\Leftrightarrow BE=\dfrac{2}{3},και EC=3-BE=\dfrac{7}{3}
Θεώρημα Μενελάου στα \Delta AES,\Delta SED διατέμνουσων \overline{LBT},\overline{NCT} αντίστοιχα:
\left\{\begin{matrix} & \dfrac{LS}{AL}\cdot \dfrac{AB}{BE}\cdot \dfrac{TE}{TS}=1 \\& \\ & \dfrac{NS}{ND}\cdot \dfrac{CD}{CE}\cdot \dfrac{TE}{TS}=1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \dfrac{LS}{LA}=\dfrac{2}{3} &\\ \\ & \dfrac{NS}{ND}=\dfrac{2}{3}& \end{matrix}\right.

Άρα LN//AD με \dfrac{LN}{AD}=\dfrac{LS}{SA}=\dfrac{LS}{LS+\dfrac{3}{2}LS}=\dfrac{2}{5}\Leftrightarrow LN=\dfrac{2}{5}\cdot 12\Leftrightarrow \boxed{LN=\dfrac{24}{5}}
Τόπο στα νιάτα ! :clap2:

"Τον γέροντα ρωτήξανε : την δόξα ή τον θρόνο , κι ο γέροντας απήντησε : Θέλω τα νιάτα μόνο "


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7265
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Νότιο τμήμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Δεκ 05, 2019 3:08 am

Αν και η πολύ όμορφη λύση του νεαρού Φωτιάδη αποθαρρύνει για άλλη λύση, ας τι δούμε λίγο διαφορετικά κι... ανάποδα .

Το S είναι το άλλο κοινό σημείο των κύκλων .

Θεωρώ τις SB\,\,,\,\,SC που τέμνουν τις TA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TD στα E,Z και στα P,Q την παράλληλη από το T στην \overline {ABCD} .

Θα δείξω ότι EZ//AD και EZ = LN.

Ας είναι FB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FC = y θα είναι έτσι : TP = 2x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TQ = 2y.

Από τη δύναμη του σημείου S ως προς τους δύο κύκλους έχω:

Επειδή : \left\{ \begin{gathered} 
  x + y = 3 \hfill \\ 
  FA \cdot FC = TF \cdot FS = FB \cdot FD \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x + y = 3 \hfill \\ 
  \left( {x + 2} \right)y = x\left( {y + 7} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x + y = 3 \hfill \\ 
  2y = 7x \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Νότιο Τμήμα.png
Νότιο Τμήμα.png (25.06 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές
Άρα : \left\{ \begin{gathered} 
  x = \frac{2}{3} \hfill \\ 
  y = \frac{7}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  2x = \frac{4}{3} \hfill \\ 
  2y = \frac{{14}}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. Μετά απ’ αυτά θα έχω: \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{TE}}{{EA}} = \frac{{TP}}{{AB}} = \frac{{2x}}{2} = x = \frac{2}{3} \hfill \\ 
  \frac{{TZ}}{{ZD}} = \frac{{TQ}}{{CD}} = \frac{{2y}}{7} = \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{2}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow EZ//AD

που, λόγω συμμετρίας, μας εξασφαλίζει ότι : EZ = LN .

Αλλά : \boxed{\frac{{PQ - EZ}}{{EZ - BC}} = \frac{{PE}}{{EB}} \Rightarrow \frac{{6 - EZ}}{{EZ - 3}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EZ = \frac{{24}}{5}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9458
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Νότιο τμήμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 05, 2019 10:44 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 03, 2019 10:28 pm
Νότιο τμήμα.png Τα ημικύκλια με διαμέτρους : AC=5 και BD=10 , τέμνονται στο σημείο T , του οποίου

το συμμετρικό ως προς την AD , ονομάζω S . Οι TB,TC τέμνουν τις SA , SD στα σημεία

L και N αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος LN .
Μετά την πολύ ωραία λύση του Πρόδρομου :clap2: καταφεύγω σε άλλες μεθόδους. Εύκολα διαπιστώνω ότι

A\widehat TD+B\widehat TC=180^\circ. Ή άσκηση έχει λοιπόν τις ίδιες προδιαγραφές με αυτήν (που επίσης έλυσε ο Πρόδρομος :clap2: ).
Νότιο τμήμα.png
Νότιο τμήμα.png (26.46 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
Σύμφωνα με αυτή την άσκηση το TLSN είναι εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο K\in BC ( ώστε BK=2) και ακτίνα

r=2\sqrt 2. Ο κύκλος αυτός τέμνει την AD στα σημεία E, Z που διαιρούν αρμονικά τα τμήματα AB, CD. Επίσης,

είναι \displaystyle AE = 2(2 - \sqrt 2 ),EB = 2(\sqrt 2  - 1), άρα \displaystyle TA = TB\sqrt 2 και ομοίως \displaystyle TD = 2TC\sqrt 2 και σε

συνδυασμό με Πυθαγόρειο στα TAC, TBD βρίσκω \displaystyle TB = \sqrt {\frac{{20}}{3}} ,TC = \sqrt {\frac{{35}}{3}} . Στο τρίγωνο TBC όλες οι

πλευρές είναι γνωστές, οπότε εύκολα βρίσκω \displaystyle \cos \theta  = \frac{{\sqrt 7 }}{5} και άρα \displaystyle \sin \theta  = \frac{{3\sqrt 2 }}{5}.

Τέλος στο τρίγωνο KLN, \displaystyle LN = 2r\sin \theta  \Leftrightarrow \boxed{LN=\frac{24}{5}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1838
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Νότιο τμήμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Δεκ 06, 2019 2:54 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 03, 2019 10:28 pm
Νότιο τμήμα.png Τα ημικύκλια με διαμέτρους : AC=5 και BD=10 , τέμνονται στο σημείο T , του οποίου

το συμμετρικό ως προς την AD , ονομάζω S . Οι TB,TC τέμνουν τις SA , SD στα σημεία

L και N αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος LN .

Απόδειξη της παραλληλίας

Είναι γνωστό ότι (σχ.1) αν KZF,QHI τέμνουσες δυο τεμνόμενων κύκλων,τότε KQ//FI

Στο σχ.2 οι τέμνουσες αυτές είναι SED,TCP άρα, DP//CE και προφανώς οι πράσινες γωνίες είναι ίσες

Ακόμη, λόγω του εγγράψιμου ACES και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες,συνεπώς \angle TLA= \angle TNS \Rightarrow TLSN

εγγράψιμο και τώρα η ισότητα των μπλε γωνιών είναι προφανής .Άρα LN//AD

Εύρεση των    x ,y και υπολογισμός του  NL

Με DW  \bot TP \Rightarrow C  ορθόκεντρο του \triangle TWD \Rightarrow WC \bot TD \Rightarrow CW//TB \Rightarrow  \dfrac{x}{y}= \dfrac{TB}{CW}

Αλλά οι μαύρες γωνίες είναι ίσες και  \angle BAT= \angle MTC= \angle CDW .Άρα \triangle TAB \simeq  \triangle CDW

Έτσι \dfrac{AB}{CD}= \dfrac{TB}{CW} = \dfrac{x}{y}  \Rightarrow  \dfrac{2}{7}= \dfrac{x}{y} και x+y=3 άρα x= \dfrac{2}{3} ,y= \dfrac{7}{3}

Τέλος ,ο Μενέλαος στο  \triangle AMS με διατέμνουσα LBT δίνει

  \dfrac{SL}{LA} .  \dfrac{AB}{BM} .  \dfrac{TM}{TS}=1 \Rightarrow  \dfrac{SL}{LA} .  3. \dfrac{1}{2}=1 \Rightarrow  \dfrac{SL}{SA}= \dfrac{2}{5}= \dfrac{NL}{12}  \Rightarrow NL= \dfrac{24}{5}
Νότιο τμήμα.png
Νότιο τμήμα.png (86.39 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης