Πειραματικό ισοσκελές

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πειραματικό ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 02, 2019 8:22 pm

Πειραματικό  ισοσκελές.png
Πειραματικό ισοσκελές.png (12.36 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές
Στο ίχνος της διχοτόμου BD ισοσκελούς τριγώνου ABC , ( AB=AC ) , φέρουμε κάθετη , η οποία

τέμνει την AB στο S και την προέκταση της BC στο T . Σχεδιάστε ένα τέτοιο ισοσκελές στο οποίο

να είναι : AS=CD . Στη συνέχεια βάλτε δικά σας ερωτήματα για μια συλλογική άσκηση :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 416
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Πειραματικό ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Δεκ 02, 2019 11:47 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 02, 2019 8:22 pm
Πειραματικό ισοσκελές.pngΣτο ίχνος της διχοτόμου BD ισοσκελούς τριγώνου ABC , ( AB=AC ) , φέρουμε κάθετη , η οποία

τέμνει την AB στο S και την προέκταση της BC στο T . Σχεδιάστε ένα τέτοιο ισοσκελές στο οποίο

να είναι : AS=CD . Στη συνέχεια βάλτε δικά σας ερωτήματα για μια συλλογική άσκηση :lol:
Έχουμε BT=BS=DA
Από θ.Μενελάου έχουμε \dfrac{DC}{AD}\cdot \dfrac{SA}{BS}\cdot \dfrac{TB}{TC}=1\Leftrightarrow \dfrac{DC}{AD}\cdot \dfrac{DC}{TC}=1

Άρα πρέπει \dfrac{DC}{DA}=\dfrac{TC}{DC}\Leftrightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{AD-a}{DC}\Leftrightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{a}-\dfrac{a}{\dfrac{ac}{a+c}}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow a=\dfrac{c}{2}


Επιπλέον εάν H,G,I το ορθόκεντρο,βαρύκεντρο και το έκκεντρο του ABC δείξτε ότι IG=IH (δεν ασχολήθηκα :sleeping: ).


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πειραματικό ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 03, 2019 8:49 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 02, 2019 8:22 pm
Πειραματικό ισοσκελές.pngΣτο ίχνος της διχοτόμου BD ισοσκελούς τριγώνου ABC , ( AB=AC ) , φέρουμε κάθετη , η οποία

τέμνει την AB στο S και την προέκταση της BC στο T . Σχεδιάστε ένα τέτοιο ισοσκελές στο οποίο

να είναι : AS=CD . Στη συνέχεια βάλτε δικά σας ερωτήματα για μια συλλογική άσκηση :lol:
Έστω ότι κατασκευάστηκε το ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle ABC\,\,\,(AB = AC) με τις προϋποθέσεις του θεματοδότη.

Από τον πόδα D της διχοτόμου BD φέρνω παράλληλη προς την AB και θα διέρχεται από σημείο O της BC.

Επειδή ταυτόχρονα : \left\{ \begin{gathered} 
  DO = DC = AS = x \hfill \\ 
  DO// = \frac{{BS}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{BS = 2x}

Κατασκευή
πειραματικό ισοσκελές.png
πειραματικό ισοσκελές.png (16.06 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές
Θεωρώ ευθύγραμμο τμήμα BT = 8k το μέσο του O και το μέσο C του OT

Άρα : OC = 2k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT = 2k\,\,

Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου \overline {BOT} , τη μεσοκάθετο του OC που το τέμνει στο D.

Η από το B παράλληλη στην OD τέμνει την CD στο A.

Το \vartriangle ABC είναι το ισοσκελές που θέλω με: AS = DC = DO = OB\,\,,\,\,BD \bot ST\,\,,\,\,DS = DT\,


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8489
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πειραματικό ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 03, 2019 9:37 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 02, 2019 8:22 pm
Πειραματικό ισοσκελές.pngΣτο ίχνος της διχοτόμου BD ισοσκελούς τριγώνου ABC , ( AB=AC ) , φέρουμε κάθετη , η οποία

τέμνει την AB στο S και την προέκταση της BC στο T . Σχεδιάστε ένα τέτοιο ισοσκελές στο οποίο

να είναι : AS=CD . Στη συνέχεια βάλτε δικά σας ερωτήματα για μια συλλογική άσκηση :lol:
Έστω AB=AC=b, BC=a, AS=DC=x. Φέρνω SP||BC.
Πειραματικό ισοσκελές.png
Πειραματικό ισοσκελές.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές
Προφανώς AP=PD=x, άρα b=3x. Όμως, λόγω διχοτόμου \displaystyle x = \frac{{ab}}{{a + b}}, οπότε \boxed{b=2a}


Ενώνω το ερώτημά μου μαζί με του Πρόδρομου.

Επιπλέον εάν H,G,I, I_a το ορθόκεντρο,βαρύκεντρο, έκκεντρο και A-παράκεντρο του ABC,

δείξτε ότι α) IG=IH και β) Το G είναι μέσο του AI_a.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πειραματικό ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 03, 2019 10:23 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 02, 2019 8:22 pm
Πειραματικό ισοσκελές.pngΣτο ίχνος της διχοτόμου BD ισοσκελούς τριγώνου ABC , ( AB=AC ) , φέρουμε κάθετη , η οποία

τέμνει την AB στο S και την προέκταση της BC στο T . Σχεδιάστε ένα τέτοιο ισοσκελές στο οποίο

να είναι : AS=CD . Στη συνέχεια βάλτε δικά σας ερωτήματα για μια συλλογική άσκηση :lol:
Ερώτημα 1
πειραματικό ισοσκελές_Ερωτήματα_a.png
πειραματικό ισοσκελές_Ερωτήματα_a.png (19 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές
Αν η κάθετη στην BC στο C τέμνει την ST στο F να δείξετε ότι η ευθεία BF εφάπτεται του κύκλου (A,S,D)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Πειραματικό ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 03, 2019 1:23 pm

Ερώτημα 3
Πειραματικό  ισοσκελές.png
Πειραματικό ισοσκελές.png (18.13 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές
Δείξτε ότι ο περίκυκλος (O) του ASD έχει διπλάσια ακτίνα από τον περίκυκλο (K)

του DCT και ότι η διάκεντρος OK είναι κάθετη στην ευθεία BC .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8489
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πειραματικό ισοσκελές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 03, 2019 2:56 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Δεκ 03, 2019 10:23 am
KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 02, 2019 8:22 pm
Πειραματικό ισοσκελές.pngΣτο ίχνος της διχοτόμου BD ισοσκελούς τριγώνου ABC , ( AB=AC ) , φέρουμε κάθετη , η οποία

τέμνει την AB στο S και την προέκταση της BC στο T . Σχεδιάστε ένα τέτοιο ισοσκελές στο οποίο

να είναι : AS=CD . Στη συνέχεια βάλτε δικά σας ερωτήματα για μια συλλογική άσκηση :lol:
Ερώτημα 1

πειραματικό ισοσκελές_Ερωτήματα_a.png

Αν η κάθετη στην BC στο C τέμνει την ST στο F να δείξετε ότι η ευθεία BF εφάπτεται του κύκλου (A,S,D)

Από το μέσο P του BS φέρνω PQ||=BT. Είναι: AS=SP=PB=PD=DQ=DC=\dfrac{2a}{3}.
Πειραματικό ισοσκελές.β.png
Πειραματικό ισοσκελές.β.png (17.85 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές
Προφανώς το ASDQ είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα το Q ανήκει στον περίκυκλο του ASD. Θα δείξω ότι η BQ

εφάπτεται σε αυτόν και ότι τα σημεία B, F, Q είναι συνευθειακά. \displaystyle \cos (B\widehat PQ) = \cos (\pi  - B) =  - \cos B =  - \frac{1}{4}.

Νόμος συνημιτόνου στο PBQ: \displaystyle B{Q^2} = \frac{{4{a^2}}}{9} + \frac{{16{a^2}}}{9} + 2\frac{{2a}}{3} \cdot \frac{{4a}}{3} \cdot \frac{1}{4} \Leftrightarrow B{Q^2} = \frac{{8{a^2}}}{3} = BS \cdot BA

Άρα η BQ εφάπτεται του κύκλου (A,S,D), οπότε \displaystyle D\widehat AQ = D\widehat QB = Q\widehat BT. Αλλά από το εγγράψιμο BDFC,

\displaystyle F\widehat BC = C\widehat DF = A\widehat DS = D\widehat AQ \Rightarrow F\widehat BC = Q\widehat BC, που αποδεικνύει την συνευθειακότητα των B, F, Q.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8489
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πειραματικό ισοσκελές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 03, 2019 6:24 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 03, 2019 1:23 pm
Ερώτημα 3Πειραματικό ισοσκελές.png

Δείξτε ότι ο περίκυκλος (O) του ASD έχει διπλάσια ακτίνα από τον περίκυκλο (K)

του DCT και ότι η διάκεντρος OK είναι κάθετη στην ευθεία BC .
Έστω R, r οι ακτίνες του μεγάλου και του μικρού κύκλου αντίστοιχα. Είναι, AQ=2SD=2DT.
Πειραματικό ισοσκελές.γ.png
Πειραματικό ισοσκελές.γ.png (16.94 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές
Τα τρίγωνα ADQ, DCT είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 2:1, άρα \boxed{R=2r}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης