Μέσο τμήματος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 416
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Μέσο τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Δεκ 01, 2019 2:46 pm

173.PNG
173.PNG (31.28 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
Έστω D σημείο του επιπέδου του τριγώνου ABC ώστε εάν K,L,M οι προβολές του στις AB,BC,AC το M να είναι το μέσο του τμήματος KL.Έστω S το συμμετρικό του ορθόκεντρου H του DCB ως προς την BC.
Εάν CS\cap KL\equiv O,BS\cap KL\equiv R να δείξετε ότι το O είναι το μέσον του τμήματος LR.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 237
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Μέσο τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Δεκ 01, 2019 3:16 pm

Αρχικά είναι απαραίτητο D\epsilon (ABC) (θεώρημα Simson).
Παρατηρώ πως η AD είναι συμμετροδιάμεσος του ABC,καθώςDKA \simeq DLC και από Ν.Ημιτόνων \dfrac{sinKAM\angle}{KM} =\dfrac{sinAMK\angle }{AK},\dfrac{sinMCL\angle}{ML} =\dfrac{sinCML\angle }{LC}\Rightarrow \dfrac{sinA\angle }{sinC\angle }=\dfrac{LD}{KD} από όπου προκύπτει ο γνωστός χαρακτηρισμός της συμμετροδιαμέσου.
Έχω ακόμα S\epsilon (ABCD) από γνωστή πρόταση.
Από Reim's στα DMLC,DABC παίρνω SA//KM οπότε αφού S(A,C,B,D)=-1 από το αρμονικό τετράπλευρο,το ζητούμενο έπεται με προβολή στην KM..


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1492
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μέσο τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Δεκ 01, 2019 6:19 pm

Ένα διαφορετικό τελείωμα στη λύση του Μίνωα.

Έχουμε ότι η BD είναι συμμετροδιάμεσος στο \vartriangle ABC, και το D \in (A,B,C), άρα το ABCD είναι αρμονικό. Οπότε, AB \cdot CD=AD \cdot BC \Rightarrow AB/BC \cdot DC/AD=1 \Rightarrow \dfrac{\sin \angle BCA}{\sin \angle BAC} \cdot \dfrac{\sin \angle DAC}{\sin \angle ACD}=1 (1)

Όμως, είναι :

\bullet \angle LSO=\angle DAC, καθώς τα A,D,C,S είναι ομοκυκλικά (το S, ανήκει και αυτό στον περίκυκλο του \vartriangle ABC καθώς τα συμμετρικά του ορθοκέντρου ως προς τις πλευρές, ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο)

\bullet \angle OSR=\angle BAC

\bullet \angle SLR=\angle MLD=\angle MCD=\angle ACD

\bullet \angle SRL=\angle BLK -\angle LBR=\angle BDK-\angle LDC=(90^\circ-\angle KBD)-(90^\circ-\angle BCD)=\angle KAD-\angle KBD=\angle ADB=\angle ACB.

Άρα, η (1) γράφεται \dfrac{\sin \angle SRL}{\sin \angle OSR} \cdot \dfrac{\sin \angle LSO}{\sin \angle SLR}=1 \Rightarrow \dfrac{LO}{OR}=1, οπότε LO=OR.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 416
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μέσο τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Δεκ 02, 2019 7:07 pm

Μίνωα και Ορέστη σας ευχαριστώ για τις λύσεις :coolspeak:

Γράφω την σκέψη μου:
Από Simson τα A,B,C,D είναι ομοκυκλικά.
Το τρίγωνο KML (εκφυλισμένο) είναι το ποδικό του D ως προς το ABC άρα ισχύουν οι γνωστοί τύποι : KM=\dfrac{AD \cdot BC }{2 R},ML=\dfrac{DC\cdot AB}{2R}\overset{KM=ML}{\Rightarrow }AD \cdot BC=DC\cdot AB
Έτσι το ABCD είναι αρμονικό και αφού το S ανήκει στον (A,B,C) η δέσμη S.(A,B,C,D) θα είναι αρμονική και μένει να δειχθεί ότι AS//KL που ισχύει αφού \angle MAS=\angle CAS=\angle CDS=90^{\circ}-\angle C=90^{\circ}-\angle KAD=\angle ADK=\angle AMK


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης