Ορθογώνιο και ισοσκελές

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθογώνιο και ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 01, 2019 7:59 am

Ορθογώνιο  και ισοσκελές.png
Ορθογώνιο και ισοσκελές.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , με \hat{A}=45^0 , τα σημεία M,N είναι τα μέσα των πλευρών AB,AC .

Το ημικύκλιο διαμέτρου BC , τέμνει τις AB , AC στα σημεία S,T . Αν L το μέσο του ST ,

δείξτε ότι το τρίγωνο LMN είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8490
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 01, 2019 9:29 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 01, 2019 7:59 am
Ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , με \hat{A}=45^0 , τα σημεία M,N είναι τα μέσα των πλευρών AB,AC .

Το ημικύκλιο διαμέτρου BC , τέμνει τις AB , AC στα σημεία S,T . Αν L το μέσο του ST ,

δείξτε ότι το τρίγωνο LMN είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .
Ορθογώνιο και ισοσκελές.Κ.png
Ορθογώνιο και ισοσκελές.Κ.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
Προφανώς τα ATB, ASC είναι ορθογώνια και ισοσκελή και λόγω μέσων και τα ANS, AMT είναι ορθογώνια και

ισοσκελή. Άρα ML=LN=\dfrac{ST}{2} και επειδή \widehat A=45^\circ και TM, SN ύψη του AST τότε από γνωστή άσκηση

M\widehat LN=2\widehat A=90^\circ.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1690
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Δεκ 02, 2019 12:12 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 01, 2019 7:59 am
Ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , με \hat{A}=45^0 , τα σημεία M,N είναι τα μέσα των πλευρών AB,AC .

Το ημικύκλιο διαμέτρου BC , τέμνει τις AB , AC στα σημεία S,T . Αν L το μέσο του ST ,

δείξτε ότι το τρίγωνο LMN είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Αν O το κέντρο του περίκυκλου του \triangle ABC ,επειδή 2x+2y=90^0 \Rightarrow  \angle OBC+ \angle OCB=90^0

Άρα το O είναι σημείο του ημικυκλίου και μάλιστα το μέσον του αφού \angle OBC= \angle OCB=45^0

Επειδή \angle ATO=45^0 \Rightarrow TO \bot AB όπως και OM \bot AB ,άρα T,O,M συνευθειακά και όμοια S,O,N ,με

MNTS εγγράψιμο και L κέντρο του περίκυκλού του

Τότε , \angle MLN=2 . 45^0=90^0 και \triangle MNL ορθογώνιο-ισοσκελές
ορθογώνιο-ισοσκελές.png
ορθογώνιο-ισοσκελές.png (25.95 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6775
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Δεκ 02, 2019 11:46 am

Έστω O το κέντρο του ημικυκλίου . Το τετράπλευρο AMON είναι παραλληλόγραμμο άρα \boxed{\widehat {MON} = 45^\circ }.

Επειδή MN//BC θα είναι \widehat {{a_2}} = \widehat {{B_{}}}. Αλλά από το εγγράψιμο τετράπλευρο BCTS είναι \widehat {{B_{}}} = \widehat {{a_3}} , οπότε : \boxed{\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}}.

Η πιο πάνω σχέση μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο MSTN είναι κι αυτό εγγράψιμο .

Όμως το τετράπλευρο MSON είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα εγγράψιμο σε κύκλο αφού οι γωνίες του στα M,S είναι παραπληρώματα ίσων γωνιών .
Ορθογώνιο και ισοσκελές.png
Ορθογώνιο και ισοσκελές.png (31.38 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές
Αλλά από τρία σημεία διέρχεται μόνο ένας κύκλος οπότε τα σημεία : O,T,N,M,S ανήκουν σ ένα κύκλο

Από την άλλη μεριά τα γραμμοσκιασμένα ισοσκελή τρίγωνα OBS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OCT επειδή έχουν \widehat {{B_{}}} + \widehat {{C_{}}} = 135^\circ θα έχουν: \widehat {SOB} + \widehat {COT} = 90^\circ

Έτσι \widehat {SOT} = 90^\circ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του ισοσκελούς ορθογωνίου \vartriangle OSTθα έχει κέντρο το L οπότε το L θα είναι το κέντρο του κύκλου

\left( {O,T,N,M,S} \right) , συνεπώς \widehat {MLN} = 2\widehat {MON} = 90^\circ και το τρίγωνο MLN είναι ισοσκελές ορθογώνιο


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 02, 2019 12:54 pm

Ορθογώνιο  και ισοσκελές.png
Ορθογώνιο και ισοσκελές.png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές
Ωραία ! Δεν αντέχω στον πειρασμό να θέσω ένα ακόμη ερώτημα : Αν το ύψος AD χωρίζει τη βάση ,

σε τμήματα BD=2 και DC=3 , υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων \displaystyle ABC και MNL .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8490
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 02, 2019 5:15 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 02, 2019 12:54 pm
Ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΩραία ! Δεν αντέχω στον πειρασμό να θέσω ένα ακόμη ερώτημα : Αν το ύψος AD χωρίζει τη βάση ,

σε τμήματα BD=2 και DC=3 , υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων \displaystyle ABC και MNL .
Έστω AD=h.
Ορθογώνιο και ισοσκελές.Κ2.png
Ορθογώνιο και ισοσκελές.Κ2.png (19.63 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές
\displaystyle \tan (\varphi  + \omega ) = \tan 45^\circ  = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{2}{h} + \dfrac{3}{h}}}{{1 - \dfrac{6}{{{h^2}}}}} = 1 \Leftrightarrow {h^2} - 5h - 6 = 0\mathop  \Rightarrow \limits^{h > 0} h = 6 \Rightarrow \boxed{(ABC)=15}

L είναι το κέντρο του κύκλου του \displaystyle {\rm{Euler}} του τριγώνου ABC. Αν λοιπόν ML=LN=x τότε SL=LT=LO=x.

\displaystyle SL \cdot LT = {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - L{O^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{25}}{4} - {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{25}}{8} \Rightarrow \boxed{(MNL) = \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{25}}{{16}}}


Τα σημαδάκια των ορθών γωνιών στα σημεία M, N ξεχάστηκαν κατά λάθος από το προηγούμενο σχήμα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10925
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Δεκ 02, 2019 6:33 pm

Euler.png
Euler.png (3.79 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές
Αφού m=\dfrac{5}{2} , είναι : E=\dfrac{25}{16}, αν αξιοποιήσουμε το αρχικό ερώτημα .

Ο Γιώργος μας υπενθυμίζει και τον κύκλο του Euler , άρα :clap2:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8490
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 02, 2019 6:47 pm

Αλλιώς το δεύτερο. Με R ακτίνα του περίκυκλου, λόγω \displaystyle {\rm{Euler}} είναι x=\dfrac{R}{2}. Επίσης \displaystyle a = 5,b = 3\sqrt 5 ,c = 2\sqrt {10}

\displaystyle (MLN) = \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{{R^2}}}{8} = \frac{1}{8}{\left( {\frac{{abc}}{{60}}} \right)^2} = ... = \frac{{25}}{{16}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1690
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Δεκ 02, 2019 8:54 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Δεκ 02, 2019 12:54 pm
Ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΩραία ! Δεν αντέχω στον πειρασμό να θέσω ένα ακόμη ερώτημα : Αν το ύψος AD χωρίζει τη βάση ,

σε τμήματα BD=2 και DC=3 , υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων \displaystyle ABC και MNL .

Σε συνέχεια της προηγούμενης ανάρτησής μου για το ίδιο θέμα ,με OP \bot AD θα είναι

OP=KD= \dfrac{1}{2} και OA=OB=OC= \dfrac{5 \sqrt{2} }{2}

Με Π.Θ στο \triangle AOP \Rightarrow AP= \dfrac{7}{2} \Rightarrow AD= \dfrac{7+5}{2}=6 \Rightarrow (ABC)=15

Προφανώς SO//BT \Rightarrow SOTB ισοσκελές τραπέζιο \Rightarrow ST=OB= \dfrac{5 \sqrt{2} }{2}  \Rightarrow ML=LN= \dfrac{5 \sqrt{2} }{4} \Rightarrow (MLN)= \dfrac{25}{16}
O-I.png
O-I.png (24.73 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης