Σελίδα 1 από 1

Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 29, 2019 9:30 pm
από KARKAR
Ορθόκεντρο  ισοσκελούς.png
Ορθόκεντρο ισοσκελούς.png (13.12 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB=AC , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) . Το σημείο S είναι

το αντιδιαμετρικό του B και το M , το μέσο της AC . Η SM τέμνει το ύψος AD στο H .

Δείξτε ότι το σημείο H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 29, 2019 9:59 pm
από ksofsa
Καλησπέρα!

Εστω E το αντιδιαμετρικό τουA.

Είναι SC\perp BC και AO\perp BC

Αρα SC//AO

Τα τρίγωνα AMH και SMC είναι ίσα, διότι

έχουν ίσες γωνίες και AM=MC.

Αρα HM=SM.

Είναι MD//AB, διότι AM=MC και BD=DC.

κι επειδή AB//SE είναι MD//SE.

Αφού MD//SE και HM=SM, είναι HD=DE,

ιδιότητα που εξασφαλίζει ότι το H ορθόκεντρο.

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 29, 2019 10:06 pm
από ksofsa
Άλλη μια λύση:


Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότι HM=SM.

Τότε OM//BH, διότι M κέντρο του SH και O κέντρο του BS.

Αφού OM\perp AC θα είναι BH\perp AC και το H ορθόκεντρο.

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Δημοσιεύτηκε: Παρ Νοέμ 29, 2019 10:33 pm
από ksofsa
Ακόμα μία λύση:

Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότιHM=SM

Εστω W το βαρύκεντρο του ABC

Εύκολα βλέπουμε ότι το W είναι βαρύκεντρο και του BHS.

Αρα WH=2WO και το H ορθόκεντρο (ευθεία Euler).

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 30, 2019 12:51 am
από Doloros
KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 29, 2019 9:30 pm
Ορθόκεντρο ισοσκελούς.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB=AC , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) . Το σημείο S είναι

το αντιδιαμετρικό του B και το M , το μέσο της AC . Η SM τέμνει το ύψος AD στο H .

Δείξτε ότι το σημείο H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Ορθόκεντρο ισοσκελούς.png
Ορθόκεντρο ισοσκελούς.png (31.46 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές

Φέρνω από το S παράλληλη στην AC και τέμνει ακόμα τον κύκλο στο T.

Το τετράπλευρο ACST είναι ισοσκελές τραπέζιο κι αφού το M είναι μέσο της μιας βάσης του θα είναι

MS = MT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = TA

Αβίαστα τώρα προκύπτουν τα τρίγωνα ATM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AHM ίσα , οπότε SC// = AH .

Έτσι το τετράπλευρο AHCS είναι παραλληλόγραμμο , οπότε η CH ως παράλληλη

της SA θα είναι κι αυτή κάθετη στην AB. Προφανώς τώρα το H είναι ορθόκεντρο του \vartriangle ABC.