Ορθόκεντρο ισοσκελούς

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11557
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθόκεντρο ισοσκελούς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 29, 2019 9:30 pm

Ορθόκεντρο  ισοσκελούς.png
Ορθόκεντρο ισοσκελούς.png (13.12 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB=AC , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) . Το σημείο S είναι

το αντιδιαμετρικό του B και το M , το μέσο της AC . Η SM τέμνει το ύψος AD στο H .

Δείξτε ότι το σημείο H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Νοέμ 29, 2019 9:59 pm

Καλησπέρα!

Εστω E το αντιδιαμετρικό τουA.

Είναι SC\perp BC και AO\perp BC

Αρα SC//AO

Τα τρίγωνα AMH και SMC είναι ίσα, διότι

έχουν ίσες γωνίες και AM=MC.

Αρα HM=SM.

Είναι MD//AB, διότι AM=MC και BD=DC.

κι επειδή AB//SE είναι MD//SE.

Αφού MD//SE και HM=SM, είναι HD=DE,

ιδιότητα που εξασφαλίζει ότι το H ορθόκεντρο.


Κώστας Σφακιανάκης
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Νοέμ 29, 2019 10:06 pm

Άλλη μια λύση:


Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότι HM=SM.

Τότε OM//BH, διότι M κέντρο του SH και O κέντρο του BS.

Αφού OM\perp AC θα είναι BH\perp AC και το H ορθόκεντρο.


Κώστας Σφακιανάκης
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 187
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Παρ Νοέμ 29, 2019 10:33 pm

Ακόμα μία λύση:

Συνεχίζω από το σημείο που έδειξα ότιHM=SM

Εστω W το βαρύκεντρο του ABC

Εύκολα βλέπουμε ότι το W είναι βαρύκεντρο και του BHS.

Αρα WH=2WO και το H ορθόκεντρο (ευθεία Euler).


Κώστας Σφακιανάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7148
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθόκεντρο ισοσκελούς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 30, 2019 12:51 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 29, 2019 9:30 pm
Ορθόκεντρο ισοσκελούς.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC , με AB=AC , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) . Το σημείο S είναι

το αντιδιαμετρικό του B και το M , το μέσο της AC . Η SM τέμνει το ύψος AD στο H .

Δείξτε ότι το σημείο H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Ορθόκεντρο ισοσκελούς.png
Ορθόκεντρο ισοσκελούς.png (31.46 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές

Φέρνω από το S παράλληλη στην AC και τέμνει ακόμα τον κύκλο στο T.

Το τετράπλευρο ACST είναι ισοσκελές τραπέζιο κι αφού το M είναι μέσο της μιας βάσης του θα είναι

MS = MT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC = TA

Αβίαστα τώρα προκύπτουν τα τρίγωνα ATM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AHM ίσα , οπότε SC// = AH .

Έτσι το τετράπλευρο AHCS είναι παραλληλόγραμμο , οπότε η CH ως παράλληλη

της SA θα είναι κι αυτή κάθετη στην AB. Προφανώς τώρα το H είναι ορθόκεντρο του \vartriangle ABC.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες