Εξαιρετικός λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11370
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εξαιρετικός λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 22, 2019 2:48 pm

Εξαιρετικός  λόγος.png
Εξαιρετικός λόγος.png (11.76 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Το AD είναι ύψος του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC . Στις κάθετες πλευρές του , AB,AC

θεωρούμε σημεία S ,T αντίστοιχα , ώστε : AS=\dfrac{1}{n}c , ( n>1) και AT=\dfrac{n-1}{n} b .

Δείξτε ότι το τρίγωνο DST είναι όμοιο με το \displaystyle ABC , υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του

και την τιμή του πραγματικού n>1 , για την οποία αυτό επιτυγχάνεται .



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξαιρετικός λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Νοέμ 22, 2019 8:18 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 22, 2019 2:48 pm
Εξαιρετικός λόγος.pngΤο AD είναι ύψος του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC . Στις κάθετες πλευρές του , AB,AC

θεωρούμε σημεία S ,T αντίστοιχα , ώστε : AS=\dfrac{1}{n}c , ( n>1) και AT=\dfrac{n-1}{n} b .

Δείξτε ότι το τρίγωνο DST είναι όμοιο με το \displaystyle ABC , υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του

και την τιμή του πραγματικού n>1 , για την οποία αυτό επιτυγχάνεται .
Κάνω την ομοιότητα .
Πάμε ανάποδα δηλαδή σαν τον κάβουρα.
Παίρνω το D .
Παίρνω Tστην AC και Sστην AB ώστε το τρίγωνο TDS να είναι ορθογώνιο.

Λόγω του εγράψιμου ATDS εχω ότι το TDS είναι όμοιο με το ABC.

Επίσης το ATDείναι όμοιο με το DSB.

Ετσι είναι

\frac{CD}{AD}=\frac{CT}{AS}

Αν θέσουμε AT=kb,AS=lc

προκύπτει ότι \dfrac{b}{c}=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{(1-k)b}{lc}

δηλαδή k+l=1 που δίνει το ζητούμενο.
(Θέλει λίγο εξήγηση αλλά γράφω από κινητό )
Αργότερα αν δεν απαντηθεί και για το εμβαδό.

συμπλήρωμα.Εφτιαξα λίγο το κείμενο.

Εξήγηση.
Προφανώς μπορούμε να πάρουμε το σημείο T ώστε k=\frac{n-1 }{n}
και να ορίσουμε το S ώστε το τρίγωνο TDS να είναι ορθογώνιο.
Τότε όμως προκύπτει ότι AS=\frac{1}{n}c
οπότε τα σημεία ταυτίζονται με τα αρχικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξαιρετικός λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 23, 2019 9:52 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 22, 2019 2:48 pm
Εξαιρετικός λόγος.pngΤο AD είναι ύψος του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC . Στις κάθετες πλευρές του , AB,AC

θεωρούμε σημεία S ,T αντίστοιχα , ώστε : AS=\dfrac{1}{n}c , ( n>1) και AT=\dfrac{n-1}{n} b .

Δείξτε ότι το τρίγωνο DST είναι όμοιο με το \displaystyle ABC , υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του

και την τιμή του πραγματικού n>1 , για την οποία αυτό επιτυγχάνεται .
Εξαιρετικός λόγος.png
Εξαιρετικός λόγος.png (16.13 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές
Τα τρίγωνα ADC, ADB είναι όμοια: \displaystyle \frac{b}{{CD}} = \frac{c}{{AD}} \Rightarrow \frac{{\frac{b}{n}}}{{CD}} = \frac{{\frac{c}{n}}}{{AD}} \Leftrightarrow \frac{{CT}}{{CD}} = \frac{{AS}}{{AD}} κι επειδή \widehat C= S\widehat AD,

τα τρίγωνα CTD, ASD είναι όμοια, απ' όπου προκύπτει ότι το ASDT είναι εγγράψιμο και εύκολα πλέον το DST

είναι όμοιο με το \displaystyle ABC.

\displaystyle \frac{{(DST)}}{{(ABC)}} = \frac{{S{T^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow (DST) = \frac{{bc}}{{2{a^2}}}S{T^2} που παίρνει ελάχιστη τιμή όταν ελαχιστοποιείται το ST.

\displaystyle S{T^2} = A{S^2} + A{T^2} = \frac{{{c^2}}}{{{n^2}}} + {\left( {\frac{{n - 1}}{n}} \right)^2}{b^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{b^2} + {c^2} = {a^2}} S{T^2} = {a^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}}} \right) - 2{b^2}\left( {\frac{1}{n}} \right) + {b^2}, που ως

τριώνυμο έχει ελάχιστο για \boxed{\frac{1}{n} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} Με αντικατάσταση τώρα, \boxed{{(DST)_{\min }} = \frac{{{b^3}c}}{{2{a^4}}}({a^2} - {b^2}) = \frac{{{b^3}{c^3}}}{{2{a^4}}}}


Σε αυτή τη θέση το ASDT είναι ορθογώνιο (Άλλη μορφή για το εμβαδόν: \boxed{{(DST)_{\min }} = \frac{{{h_a}^3}}{{2a}}})


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης