Διπλάσιο και μέσο

KARKAR · #1

: Διπλάσιο και μέσο.png (8.37 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Επί της

θεωρώ σημείο

, ώστε : $AS<\dfrac{AC}{2}$

και επί της

σημείο

, τέτοιο ώστε : $\widehat{MSB}=2\widehat{SBA}$ . Η κάθετη από το

προς την

,

τέμνει την

στο

.

α) Δείξτε ότι : TB=2AS

... β) Για ποια θέση του

, το σημείο

είναι το μέσο της

;

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 15, 2019 1:09 pm
Διπλάσιο και μέσο.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Επί της θεωρώ σημείο , ώστε : $AS<\dfrac{AC}{2}$

και επί της σημείο , τέτοιο ώστε : $\widehat{MSB}=2\widehat{SBA}$ . Η κάθετη από το προς την ,

τέμνει την στο .

α) Δείξτε ότι : ... β) Για ποια θέση του , το σημείο είναι το μέσο της ;

1.Με $MS \cap BA=D$ $\Rightarrow \angle SDB= \theta \Rightarrow AD=AB=AC$ και θεωρούμε τον κύκλο $\big(A,AB\big)$

Έστω SH//AB

και $HN \bot AB$ με $NH \cap BK=F$ .

Λόγω του εγγράψιμου FKZS

θα είναι $\angle NFB= \theta$ κι επειδή

ορθόκεντρο του $\triangle FBS \Rightarrow T,M,S$ συνευθειακά

και $\angle MFK=2 \theta \Rightarrow \angle TFN= \theta$

Έτσι, $TN=NB=NZ=SA \Rightarrow TB=2AS$

2.Όταν

μέσον της

και $AM \cap ZS=L \Rightarrow \angle MZS= \angle SLA=45^0 \Rightarrow ZS=AN=2AS$

Άρα $3AS=AB \Rightarrow AS= \dfrac{AB}{3}$

: Διπλάσιο και μέσο.png (27.37 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

#3

: Διπλάσιο και μέσο.png (18.1 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές

Κατασκευή του

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και μετά το συμμετρικό,

, του σημείου

ως προς αυτή. Η

τέμνει την υποτείνουσα στο

.

Επειδή $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} = 90^\circ - \widehat \theta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {FBC} = \widehat {CBA} = 45^\circ$ , τα τρίγωνα : $BTM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BFM$ είναι ίσα γιατί έχουν ακόμα την

κοινή.

α) Άρα 2x = FB = TB

β) Αν τώρα το

ταυτιστεί με το μέσο

της υποτείνουσας

θα είναι :

$BF = CS \Rightarrow CS = 2x \Rightarrow \boxed{BS = \frac{1}{3}AC}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 15, 2019 1:09 pm
Διπλάσιο και μέσο.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Επί της θεωρώ σημείο , ώστε : $AS<\dfrac{AC}{2}$

και επί της σημείο , τέτοιο ώστε : $\widehat{MSB}=2\widehat{SBA}$ . Η κάθετη από το προς την ,

τέμνει την στο .

α) Δείξτε ότι : ... β) Για ποια θέση του , το σημείο είναι το μέσο της ;

α) Εστω $AS=x,TB=y,SC=b-x,AT=b-y,CB=b\sqrt{2}$

Το τρίγωνο OSB

είναι ισοσκελές γιατί $\hat{MSB}=\hat{SOB}+\hat{\theta }\Leftrightarrow \hat{SOB}=\hat{\theta },OS=SB,$ , Ακόμη στο τρίγωνο $ACB,\dfrac{b-x}{x}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{CM}{MB}=\dfrac{b-x}{2x},(1)$
Από τα όμοια τρίγωνα $GAT,OAS,AG=\dfrac{b(b-y)}{x},CG=b.\dfrac{b+x-y}{x},\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{b-y}{b+x-y}$

Στο τρίγωνο

$ABC,\dfrac{y}{b-y}.\dfrac{AG}{GC}.\dfrac{CM}{MB}=1 \Rightarrow \dfrac{CM}{MB}=\dfrac{(b-y)(b+x-y)}{y(b-y)},(2), (1),(2)\Rightarrow by=2bx+2x^{2}-xy\Leftrightarrow y=2x$

β) Εφόσον είναι $CM=MB=\dfrac{b\sqrt{2}}{2},$

Από τη σχέση $(1)\Rightarrow x=\dfrac{b}{3},y=2.\dfrac{b}{3}$

και το τετράπλευρο OGBC

είναι τετράγωνο και η κατασκευη το σημείου

είναι απλή

Altrian · #5

Προεκτείνουμε την

η οποία τέμνει την

στο

και την κάθετη από το

προς την

στο

.

α) Τα τρίγωνα FND,MTB

είναι ίσα λόγω ίσων γωνιών και του ότι ND=MB

. Αρα

.

β) Αν

μέσο της

τότε και

μέσο της

οπότε

βαρύκεντρο του ADB

άρα $SA=\dfrac{AC}{3}$

Διπλάσιο και μέσο

Διπλάσιο και μέσο

Re: Διπλάσιο και μέσο

Re: Διπλάσιο και μέσο

Re: Διπλάσιο και μέσο

Re: Διπλάσιο και μέσο

Μέλη σε σύνδεση