Ανατολικός κύκλος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11364
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανατολικός κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Νοέμ 13, 2019 12:38 pm

Ανατολικός  κύκλος.png
Ανατολικός κύκλος.png (11.8 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές
Στο επίπεδο τετραγώνου ABCD , σχεδιάζουμε κύκλο (O) , διερχόμενο από τα B , C

και εφαπτόμενο της διαγωνίου DB στο B . Φέρω και το άλλο εφαπτόμενο τμήμα DS .

Αν η ημιευθεία DC τέμνει την ακτίνα OS στο σημείο T , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{ST}{TO} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανατολικός κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 13, 2019 1:49 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2019 12:38 pm
Ανατολικός κύκλος.pngΣτο επίπεδο τετραγώνου ABCD , σχεδιάζουμε κύκλο (O) , διερχόμενο από τα B , C

και εφαπτόμενο της διαγωνίου DB στο B . Φέρω και το άλλο εφαπτόμενο τμήμα DS .

Αν η ημιευθεία DC τέμνει την ακτίνα OS στο σημείο T , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{ST}{TO} .
Ανατολικός κύκλος.png
Ανατολικός κύκλος.png (45.01 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές
\dfrac{ST}{TO}=\dfrac{2}{5}

Edit: Άρση απόκρυψης.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανατολικός κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 13, 2019 1:57 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2019 12:38 pm
Ανατολικός κύκλος.pngΣτο επίπεδο τετραγώνου ABCD , σχεδιάζουμε κύκλο (O) , διερχόμενο από τα B , C

και εφαπτόμενο της διαγωνίου DB στο B . Φέρω και το άλλο εφαπτόμενο τμήμα DS .

Αν η ημιευθεία DC τέμνει την ακτίνα OS στο σημείο T , υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{ST}{TO} .
Αν a η πλευρά του τετραγώνου, K το κέντρο του τετραγώνου , F το σημείο τομής των SO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB. Θέσω δε R την ακτίνα του κύκλου , θα ισχύουν:

KABO παραλληλόγραμμο οπότε KO = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{R = KA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}.
Έστω ακόμα BF = y
Ανατολικός κύκλος_oritzin.png
Ανατολικός κύκλος_oritzin.png (18.93 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές
Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων : SDF\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BOF έχω :

\dfrac{{BF}}{{BO}} = \dfrac{{SF}}{{SD}} \Rightarrow \dfrac{y}{R} = \dfrac{{R + \sqrt {{R^2} + {y^2}} }}{{2R}} \Rightarrow y = \dfrac{{4R}}{3} \Rightarrow \boxed{OF = \dfrac{{5R}}{3}}

Επειδή KO//DT έχω : \dfrac{{FB}}{{BD}} = \dfrac{{FO}}{{OT}} \Rightarrow \dfrac{{y + R}}{R} = \dfrac{{FO}}{{OT}} \Rightarrow \boxed{OT = \dfrac{{5R}}{7}} κι έτσι

\boxed{\frac{{ST}}{{TO}} = \frac{2}{5}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8959
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανατολικός κύκλος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 13, 2019 7:45 pm

Ανατολικός κύκλος.png
Ανατολικός κύκλος.png (45.01 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές
\displaystyle D{B^2} = 2{a^2} = D{S^2} = DC \cdot DE \Rightarrow CE = a,BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},DO = \sqrt {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}

Με θεώρημα Πτολεμαίου στο OSDB παίρνω \displaystyle BS = \frac{{2a\sqrt {10} }}{5}. Το G είναι βαρύκεντρο του τριγώνου DBE,

άρα από \displaystyle BG \cdot BC = BM \cdot BP \Rightarrow \frac{{2a}}{3} \cdot a = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}BP \Leftrightarrow BP = \frac{{a\sqrt {10} }}{3} \Rightarrow \boxed{\frac{{BP}}{{PS}} = 5} (1)

Θ. Μενελάου στο \displaystyle SBO με διατέμνουσα \displaystyle \overline {PTE} , \displaystyle \frac{{ST}}{{TO}} \cdot \frac{{OE}}{{EB}} \cdot \frac{{BP}}{{PS}} = 1\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{ST}}{{TO}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 5 = 1 \Leftrightarrow \boxed{\frac{{ST}}{{TO}} = \frac{2}{5}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης