Αξιοθρήνητη καθετότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αξιοθρήνητη καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 11, 2019 1:50 pm

Αξιοθρήνητη  καθετότητα.png
Αξιοθρήνητη καθετότητα.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές
Ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Εντός του κύκλου θεωρούμε σημείο D ,

ώστε : AD=AB=AC και φέρω κάθετη προς το τμήμα αυτό , στο άκρο του D , η οποία

τέμνει τον κύκλο στο σημείο Q ( προς το μέρος του C ) . Αν AQ,BC τέμνονται στο σημείο S ,

δείξτε ότι : DS\perp AQ .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1838
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Αξιοθρήνητη καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 11, 2019 3:39 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2019 1:50 pm
Αξιοθρήνητη καθετότητα.pngΙσοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Εντός του κύκλου θεωρούμε σημείο D ,

ώστε : AD=AB=AC και φέρω κάθετη προς το τμήμα αυτό , στο άκρο του D , η οποία

τέμνει τον κύκλο στο σημείο Q ( προς το μέρος του C ) . Αν AQ,BC τέμνονται στο σημείο S ,

δείξτε ότι : DS\perp AQ .

Από την προφανή ισότητα των γωνιών y  \Rightarrow AS . AQ=AC^2=AD^2 \Rightarrow DS \bot AQ
Αξιοθρήνητη καθετότητα.png
Αξιοθρήνητη καθετότητα.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9456
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αξιοθρήνητη καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 11, 2019 4:44 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2019 1:50 pm
Αξιοθρήνητη καθετότητα.pngΙσοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Εντός του κύκλου θεωρούμε σημείο D ,

ώστε : AD=AB=AC και φέρω κάθετη προς το τμήμα αυτό , στο άκρο του D , η οποία

τέμνει τον κύκλο στο σημείο Q ( προς το μέρος του C ) . Αν AQ,BC τέμνονται στο σημείο S ,

δείξτε ότι : DS\perp AQ .
Έστω M μέσο του BC και AP διάμετρος του κύκλου. Το MSQP είναι εγγράψιμο, άρα \boxed{AM \cdot AP = AS \cdot AQ} (1)
Αξιοθρήνητη καθετότητα.png
Αξιοθρήνητη καθετότητα.png (19.1 KiB) Προβλήθηκε 438 φορές
\displaystyle AB \cdot AC = 2AO \cdot AM \Rightarrow A{D^2} = AM \cdot AP\mathop  = \limits^{(1)} AS \cdot AQ \Rightarrow \boxed{DS\perp AQ}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αξιοθρήνητη καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 12, 2019 1:46 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2019 1:50 pm
Αξιοθρήνητη καθετότητα.pngΙσοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Εντός του κύκλου θεωρούμε σημείο D ,

ώστε : AD=AB=AC και φέρω κάθετη προς το τμήμα αυτό , στο άκρο του D , η οποία

τέμνει τον κύκλο στο σημείο Q ( προς το μέρος του C ) . Αν AQ,BC τέμνονται στο σημείο S ,

δείξτε ότι : DS\perp AQ .
Θα παρακαλούσα πολύ τον φίλτατο Θανάση να μου εξηγήσει από που προήλθε ο τίτλος " Αξιοθρήνητη καθετότητα" :?:


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 315
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Αξιοθρήνητη καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Νοέμ 12, 2019 2:34 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Νοέμ 12, 2019 1:46 pm
KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 11, 2019 1:50 pm
Αξιοθρήνητη καθετότητα.pngΙσοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Εντός του κύκλου θεωρούμε σημείο D ,

ώστε : AD=AB=AC και φέρω κάθετη προς το τμήμα αυτό , στο άκρο του D , η οποία

τέμνει τον κύκλο στο σημείο Q ( προς το μέρος του C ) . Αν AQ,BC τέμνονται στο σημείο S ,

δείξτε ότι : DS\perp AQ .
Θα παρακαλούσα πολύ τον φίλτατο Θανάση να μου εξηγήσει από που προήλθε ο τίτλος " Αξιοθρήνητη καθετότητα" :?:
Θα έχει στερέψει από νέους τίτλους :lol:
(Φιλικά :mrgreen: )


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αξιοθρήνητη καθετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 12, 2019 2:43 pm

Περίμενα τον Θανάση γιατί άσκηση είναι ένα από τα πιο απλά παραδείγματα αντιστροφής .
Αξιορηνηυ καθετότητα.png
Αξιορηνηυ καθετότητα.png (16.97 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές
Αντιστρέφω τον κύκλο με πόλο το A και δύναμη αντιστροφής {R^2}.

Αν γράψω τον κύκλο αντιστροφής αυτός θα διέρχεται από τα B,C,D

Ο κύκλος αντιστρέφεται στην ευθεία BC . Το αντίστροφο του Q είναι το

S και άρα AS \cdot AQ = {R^2} = A{D^2} που μας εξασφαλίζει την καθετότητα που θέλουμε.

Παρατήρηση:

Το Geogebra , αλλά και τα άλλα λογισμικά Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχουν ενσωματωμένο το εργαλείο αντιστροφής ( αλλά με παραπλανητικό, ίσως λόγω μετάφρασης , τίτλο )

σχεδιάστε το σχήμα χωρίς την ευθεία BC , αλλά όμως με τον κύκλο :  (A,AC) .

Από το εργαλείο : " συμμετρία σε κύκλο " δείξτε :

α) τον κύκλο της εκφώνησης και

β) Τον κύκλο αντιστροφής

Θα σχεδιαστεί αμέsως το αντίστροφο αντικείμενο του κύκλου, δηλαδή η ευθεία BC


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Αξιοθρήνητη καθετότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 12, 2019 6:31 pm

Αξιοπρόσεκτη  καθετότητα.png
Αξιοπρόσεκτη καθετότητα.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές
Από το ίχνος του ύψους AD τριγώνου APQ , φέρω : DT\perp AP , DS\perp AQ .

Αν η TS τέμνει τον περίκυκλο (O) , του τριγώνου στα σημεία B,C , δείξτε ότι :

α ) AB=AC=AD και ... β) AO \perp BC .

Αυτήν την πλούσια άσκηση αξιοποιώντας , δημιούργησα την φτωχική αρχική εκδοχή της

και έτσι της έδωσα αυτό το "περίεργο" όνομα . Τώρα λύστε την νέα version :lol:


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1897
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Αξιοθρήνητη καθετότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Νοέμ 13, 2019 7:00 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Νοέμ 12, 2019 2:43 pm

...............
Το Geogebra , αλλά και τα άλλα λογισμικά Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχουν ενσωματωμένο το εργαλείο αντιστροφής ( αλλά με παραπλανητικό, ίσως λόγω μετάφρασης , τίτλο )
Νίκο καλησπέρα!! Τι εννοείς εδώ ο ποιητής;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9456
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αξιοθρήνητη καθετότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 15, 2019 2:04 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Νοέμ 12, 2019 6:31 pm
Αξιοπρόσεκτη καθετότητα.png Από το ίχνος του ύψους AD τριγώνου APQ , φέρω : DT\perp AP , DS\perp AQ .

Αν η TS τέμνει τον περίκυκλο (O) , του τριγώνου στα σημεία B,C , δείξτε ότι :

α ) AB=AC=AD και ... β) AO \perp BC .

Αυτήν την πλούσια άσκηση αξιοποιώντας , δημιούργησα την φτωχική αρχική εκδοχή της

και έτσι της έδωσα αυτό το "περίεργο" όνομα . Τώρα λύστε την νέα version :lol:
Αξιοθρήνητη καθετότητα.β.png
Αξιοθρήνητη καθετότητα.β.png (25.05 KiB) Προβλήθηκε 209 φορές
\displaystyle A\widehat PQ = 180^\circ  - A\widehat CQ \Leftrightarrow 90^\circ  - P\widehat AD = 180^\circ  - A\widehat CQ \Leftrightarrow

\displaystyle A\widehat CQ = 90^\circ  + P\widehat AD = 90^\circ  + T\widehat SD = T\widehat SQ, άρα τα ACS,ACQ είναι όμοια:

Επομένως, \displaystyle A{C^2} = AS \cdot AQ = A{D^2}. Ομοίως, AB=AD. (Το β) ερώτημα όπως στην αρχική άσκηση).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες