Ισότητα και λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10847
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισότητα και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 08, 2019 11:15 am

Ισότητα  και  λόγος.png
Ισότητα και λόγος.png (6.33 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Σημείο S βρίσκεται "αριστερά" της AC

και είναι τέτοιο ώστε : AS \parallel BC και BS=BC . Ονομάζω T την τομή των BS,AC

και SD τη διχοτόμο της \widehat{ASB} . α) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AS}{AB} ... β) Δείξτε ότι : AT=AD .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8411
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Νοέμ 08, 2019 7:43 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 08, 2019 11:15 am
Ισότητα και λόγος.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Σημείο S βρίσκεται "αριστερά" της AC

και είναι τέτοιο ώστε : AS \parallel BC και BS=BC . Ονομάζω T την τομή των BS,AC

και SD τη διχοτόμο της \widehat{ASB} . α) Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AS}{AB} ... β) Δείξτε ότι : AT=AD .
Ισότητα και λόγος.png
Ισότητα και λόγος.png (19.89 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
α) \displaystyle \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{2}.......... β) ισότητα τριγώνων ACD, ABT.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Ισότητα και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Νοέμ 08, 2019 8:32 pm

α) SB^{2}=SP^{2}+PB^{2}\Rightarrow 2a^{2}=\dfrac{b^{2}}{2}+\dfrac{b^{2}}{2}+a^{2}+ba\sqrt{2}\Rightarrow \dfrac{b^{2}}{a^{2}}+\dfrac{b\sqrt{2}}{a}-1=0

Αρα \dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.

β) Τα τρίγωνα STA, CTB είναι όμοια, άρα:

\dfrac{AT}{TC}=\dfrac{SA}{CB}= \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{AD}{DB}\Rightarrow \dfrac{AT}{AT+TC}=\dfrac{AD}{AD+DB}\Rightarrow \dfrac{AT}{a}=\dfrac{AD}{a}\Rightarrow AT=AD
Συνημμένα
ισοτητα και λογος.png
ισοτητα και λογος.png (16.52 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6724
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα και λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 08, 2019 10:49 pm

Ισότητα και λόγος_7_11_2019_a.png
Ισότητα και λόγος_7_11_2019_a.png (36.23 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές
α) Έστω B' το συμμετρικό του B ως προς το A.Με διάμετρο BB'γράψω το ημικύκλιο

(A,R) που περιέχει το C . Ας είναι F το σημείο τομής της ημιευθείας TS μ αυτό .

\widehat {SCB} = \widehat {BSC} \Leftrightarrow 45^\circ  + \widehat {{\phi _1}} = 45^\circ  + \widehat {{\phi _2}} \Leftrightarrow \boxed{\widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}}}.

Άμεση συνέπεια : \vartriangle SCF = \vartriangle SCA και άρα το \vartriangle ACF είναι ισόπλευρο .

Έτσι έχω \widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}} = \widehat {{\theta _{}}} = 30^\circ \,\, και \vartriangle CFB \approx \vartriangle SAC \Rightarrow \dfrac{{CF}}{{SA}} = \dfrac{{FB}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{R}{d} = \dfrac{{d + R\sqrt 2 }}{R}

Αν d = Rx\,\,,x > 0 έχω την εξίσωση : {x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \frac{{ - \sqrt 2  + \sqrt 6 }}{2}}
β)
Ισότητα και λόγος_7_11_2019_b.png
Ισότητα και λόγος_7_11_2019_b.png (18.54 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές


Αφού SA//BC και η SDδιχοτόμος του \vartriangle SAB θα ισχύουν:

\boxed{\frac{{ST}}{{TB}} = \frac{{SA}}{{BC}} = \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{DA}}{{DB}} \Rightarrow SA//TD \Rightarrow \widehat {{\xi _{}}} = 45^\circ  \Rightarrow AT = AD}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8411
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα και λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 09, 2019 8:39 am

Έστω M το μέσο του SC. Είναι BS=BC=AB\sqrt 2. Από \displaystyle AS||BC \Rightarrow S\widehat AB = 135^\circ .
Ισότητα και λόγος.png
Ισότητα και λόγος.png (19.91 KiB) Προβλήθηκε 35 φορές
α) Νόμος συνημιτόνων στο SAB: \displaystyle 2A{B^2} = A{B^2} + A{S^2} + AB \cdot AS\sqrt 2  \Leftrightarrow \boxed{\frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{2}}

β) Από το προηγούμενο είναι \displaystyle A\widehat BS = 15^\circ  = A\widehat SD. Επίσης είναι DS||BM (οι διχοτόμοι των εντός εναλλάξ

γωνιών είναι παράλληλες). Άρα το ASCD είναι εγγράψιμο, οπότε A\widehat CD = 15^\circ. Από την προφανή τώρα ισότητα

των τριγώνων ACD, ABT, προκύπτει το ζητούμενο \boxed{AD=AT}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες